b1 a 1 b2 a 2 b3 a 3 2
或写为： bi a j 2 ij
b1 a 2 b2 a 3 b2 a 3 b2 a 1 b3 a 1 0
( i , j 1,2 ,3 )
1 .3
b1 2
( n1 , n2 , n3 为任意整数 )
相应的晶格矢 Rm 可表示为： Rm m1 a1 m2 a 2 m3 a3 ( m1 , m2 , m3 为任意整数 ) 通常用 a1, a2, a3 表示正格子原胞的三个基矢，而用 a, b, c 表示晶胞的三个基矢。 倒格矢 Kn 和晶格矢 Rm 之间有如下关系： K n Rm 2 ( n1 m1 n2 m2 n3 m3 ) 2 ( 整数 ) ( 1.6 )
1
1.晶体结构
原胞：只含有一个格点的晶胞称为原胞； 基矢：确定原胞（晶胞）大小的矢量。原胞（晶胞）以基矢为周期排列，因此，基矢的大小为晶格常数。 格矢：平移矢量 R。 晶胞的选择方法，在某种程度上是任意的。 根据晶胞的平移操作，就可以填满整个晶格空间，即，在晶格中的格点是周期性排列的，所以说晶体内 部结构具有周期性。 反映晶体周期性的重复单元，有两种选取方法： 在固体物理学中，选取周期最小的重复单元，即原胞 在晶体学中，由对称性选取最小的重复单元，即晶胞（单胞） 。 原胞和晶胞都是用来描述晶体中晶格周期性的最小重复单元，但二者有所不同。在固体物理学中，原胞 只强调晶格的周期性；而在结晶学中，晶胞还要强调晶格中原子分布的的对称性。
第一章的学习内容
§1.1 晶体内部结构的周期性 §1.3 倒格子
§1.1 晶体内部结构的对称性
晶体中的原子是按照一定规则排列的，形成一个有序结构。 图 1.1(a)表示 ABCD 的基本单位。如果它的基矢为 a b 时，则可用平移矢量 R 表示所有点的位置，即：
R pa qb
p, q 为整数
1.1
在三维情况下，平移矢量为
R pa qb sc
( p , q , s为整数）
1.2
R 又称为格矢 晶格：由平移矢量 R 形成的有规则排列的空间点阵; 格点：以 R 指定的点，称为格点；即空间（一维或多维）点阵中的点（结点） 。 晶胞：图 1.1(a)中，以 a，b 定义的 ABCD 区域称为晶胞；
电子的共 有化运动
能带的形成
单电子近似
一维单电子 薛定谔方程
周期性势场
晶体中的 波函数 晶体中电子 的能量谱值
3
3.半导体中的电子状态
一、能带的形成：
a: 什么是电子的共有化运动（VIP）. 当原子和原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各层轨道将发生程度不同的交叠。由于电子轨道的 重叠，原来属于某一原子的电子不再局限于这个原子，它可以转移到相邻的原子上去，电子在相邻的原子之 间转移，这表明电子可以在整个晶体中运动，晶体中电子的这种运动，称为电子的共有化运动。
2p 2s






晶体中电子的运动
b: 电子共有化运动的特点 1. 外层电子轨道重叠大，共有化运动显著。 2. 无外力作用时，电子只能在能量相同的轨道之间转移，引起相对应的共有化运动，因为各原子中相似 壳层上的电子才有相同的能量，电子只能在相似壳层中转移。 即，组合成晶体后，每一个原子能级引起“与之对应”的共有化运动：2s 能级引起“2s”的共有化运动， 2p 能级引起“2p”的共有化运动。 晶体中电子做共有化运动时的能量是怎样的？ a: 考虑一些相同的原子，当它们之间的距离很大时，可以忽略它们之间的相互作用，每个原子都可以看 成孤立的，它们有完全相同的电子能级。如果把这些原子看成一个系统，则每一个电子能级都是简并的。(2 个原子构成的系统，为二度简并（不计原子本身的简并时） ；N 个原子构成的系统，为 N 度简并） 。
N 个原子 构成的系 统，原子 距离很大 时 其电子 能级为 N 度简 并的分 立能级
2p 2s

1s
简并：如果对应某一个本征值的本征函数不 止一个（不考虑相位因素造成的区别）,我们就说该算符对 于这个本征值是简并的。(量子力学) 对应于某一能量为 E 的能级，存在不同的波函数(不同的电子)，则称体系在这一能级上简并。 晶体中电子做共有化运动时的能量是怎样的？ a: 考虑一些相同的原子，当它们之间的距离很大时，可以忽略它们之间的相互作用，每个原子都可以看 成孤立的，它们有完全相同的电子能级。如果把这些原子看成一个系统，则每一个电子能级都是简并的。(2 个原子构成的系统，为二度简并（不计原子本身的简并时） ；N 个原子构成的系统，为 N 度简并） 。 b: 能带的形成：原子相互靠近时，由于之间的相互作用，使简并解除，原来具有相同能量的能级，分裂 成具有不同能量的一些能级组成的带，称为能带。原子之间的距离愈小它们之间的相互作用愈强，能带的宽 度也愈大。(图 3.2) 原子能级和能带之间并不一定都存在一一对应的关系。当共有化运动很强时，能带可能很宽而发生能带 间的重叠，碳原子组成的金刚石就是属于这种情况。(图 3.3)
exp( iK n Rm ) 1 ( 1 .7 )
正格子与倒格子的关系，可以学习教材 P6
------------------------------------------------------------------------------------------2
3.半导体中的电子状态
4
3.半导体中的电子状态
金刚石：以及锗（Ge） ，硅（Si） 碳原子有 6 个电子，1s2，2s2，2p2，4 个外层电子为价电子，原子结合为晶体时，内层电子态变化不 大，对晶体性质影响不明显，则只考虑价电子状态的变化。 2s、2p 能级构成 sp3 杂化轨道：由 1 个 s 态和 3 个 p 态组成。根据泡里不相容原理，考虑自旋，则 2s 能级有 N 个电子态，可容纳 2N 个电子；2p 能级有 3N 个电子态，可容纳 6N 个电子。 所以，许多实际晶体的能带不一定同孤立原子的某个能级相当，即不一定能区分 s 能级和 p 能级所过渡 的能带。金刚石和 Ge、Si，它们的原子都有 4 个价电子，2 个 s 电子，2 个 p 电子，组成晶体后，由于轨道 杂化的结果，其价电子形成的能带如下图所示。
2p 2s

1s
孤立原子中的电子能量：分立能级
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§3.1
晶体中的能带
以两种不同的方式，讨论晶体中电子的运动状态和能级，重点是说明晶体中的能带的形成。 1、定性地说明晶体中电子的共有化运动和能带的形成； 2、利用简化的周期性势场模型，得出晶体中电子的波函数和能量谱值。
晶体中的能带
能带的形成
晶体中电子的 波函数和能量谱值
§1.3 倒格子
正格子：实空间中，晶体中的原子排列成的晶格点阵，称为正格子。 倒格子：为了方便描述、讨论晶体中传播的晶格振动或电子的运动及其状态等，引入的一个与正格子相 关联的空间关系。 描述倒格子所存在的空间也称为倒空间或 k 空间。(为后面讨论波矢量 k 做准备)。 假设倒格子的基矢为 b1, b2, b3, 它们与正格子基矢 a1, a2, a3 的关系为：
------------------------------------------------------------------------------------------第一章 晶体结构
固体分为晶体和非晶体。 非晶体也称为玻璃态物质或无定型固体，非晶体中原子的排列是短程有序的。 (参看第十三章 半导体) 晶体中的原子排列是长程有序的。 非晶态
其中： b 2 2
a2 a3 a1 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a2 a3
b3 2
1.4
由上述的三个基矢 b1, b2, b3 平移而形成的晶格称为倒格子。当倒格子中的任意格点作为原点时，从原 点到其他倒格子点之间的矢量称为倒格矢。 用 Kn 表示，则 K n n1b1 n2 b2 n3 b3
5
3.半导体中的电子状态
定性理论（物理概念） ：晶体中原子之间的相互作用，使能级分裂形成能带。 定量理论（量子力学计算） ：电子在周期场中运动，其能量不连续形成能带。 能带（energy band）:包括允带和禁带。 允带（allowed band） ：允许电子能量存在的能量范围。 禁带（forbidden band） ：不允许电子能量存在的能量范围。 允带又分为空带、满带、导带、价带。 空带（empty band） ：未被电子占据的允带。 满带（filled band） ：允带中的能量状态（能级）均被电子占据。 导带（conduction band） ：电子未占满的允带（有部分电子。 ） 价带（valence band）:被价电子占据的允带（低温下通常被价电子占满） 。 总结：能带的特点 1：形成能带后，电子态数目保持不变，每个电子态不再属于个别原子，而是延展于整个晶体。 2：电子的能带结构由它们所在势场决定，因而与组成晶体的原子结构和晶体结构有关，同晶体中原子数 目无关。当晶体中原子数目增加时，只增加每个能带中的电子态数，使能带中子能级的密集程度增加，对能 带结构，如允带和禁带的宽度及相对位置无影响。 3：处于低能级的内壳层电子共有化运动弱，所以能级分裂小，能带较窄；处于高能级的外壳层电子共有 化运动强，能级分裂大，因而能带较宽。 4：每个能带都是共有化电子可能的能量状态，称为允带；各允带之间有一定的能量间隙，电子能量不可 能在这一能量间隙内，称之为禁带。 5：每个允带包含的能级数一般等于孤立原子相应能级的简并度（不计自旋简并）× 组成晶体的原子数 目。 6：许多实际晶体的能带与孤立原子能级间并不是一一对应的。 二、晶体中电子的波函数和能量谱值
------------------------------------------------------------------------------------------第三章 半导体中的电子状态