江苏省扬州市广陵区教育局汤雪峰【摘要】本文基于小学数学中关于数学概念的含义及特点对于数学教学的重要性，讲解了概念教学的基本方法和模式，对弄清数学概念“是什么”“为什么要教”“怎么教”以及“教到什么程度”是十分有必要的。
【关键词】小学数学；概念；特点；教学【作者简介】汤雪峰，江苏省扬州市广陵区教育局教科室。
发表教育教学论文数十篇，曾3次荣获江苏省“教海探航”征文一等奖。
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2015） 19-0020-05 关于小学数学概念教学的相关问题，在许多不同的场合，如一些专家学者的学术讲座，或相关专题教学研讨活动，抑或常态的教师交流等等，我们总会听到不一样的声音。
因此，弄清数学概念“是什么”“为什么要教”“怎么教”以及“教到什么程度”是十分有必要的。
一、对数学概念的认识1．什么是概念。
概念是思维的基本单位。
哲学上认为，概念是人脑对事物本质特征的反映。
逻辑学认为，概念是反映一类事物（思维对象）的特有属性（本质属性或固有属性）的思维形式。
任何一个概念都有它的内涵和外延。
概念的内涵是指概念所反映的对象的本质属性的总和。
概念的外延是指适合于这一概念的一切对象。
例如，对于“三角形”而言，“由三条线段围成的图形”是“本质属性”，也就是三角形这个概念的内涵。
凡是具有这种本质特性的一切平面图形（无论边的长短与内角的大小怎样）都是三角形，这就是三角形这个概念的外延。
心理学上，人们往往把概念与人的分类行为紧密联系在一起。
例如，认知心理学认为概念是符号（主要指具有一般意义的词）所代表的具有标准共同属性的对象、事物、情境或性质。
当我们看到“直线”这个词时，思维活动中产生的是一般的直线的表象，而不是某一个具体的直线。
这种抽象了的直线在现实生活中是不存在的。
这时，“直线”这个词就代表了一个概念。
2．什么是数学概念。
数学概念是客观世界中数量关系和空间形式的特有属性在人们头脑中的反映，它是用数学语言和符号揭示事物共同属性的思维形式。
数学概念强调的是具有共同特有属性（共同特征）的一类数量关系和空间形式，而不是个别事物。
从数学自身的发展来看，数学概念的产生有两种情形：一种是直接从对客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到的；另一种是在已有数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而形成的。
3．数学概念的特点。
（1）高度抽象性。
由数学概念的产生可知，数学概念是从现实生活或已有数学概念抽象而来。
例如，自然数“2”即便来自现实生活，但我们又无法从现实生活中找到“2”，我们在现实生活中只能遇到“2 只狗”“2 朵花”。
此外，数学概念一般是用形式化、符号化的语言来表示的，如“只能被 1 和它本身整除的自然数叫质数”。
可见数学概念比一般概念具有更高的抽象程度。
（2）逻辑联系性。
许多数学概念都是在原始概念的基础上形成的，以逻辑加以定义，以言词（或符号）定型，相互之间存在严密的逻辑性。
例如，四边形、平行四边形、长方形、正方形等概念之间就存在严密的逻辑联系。
其中某个概念的界定，往往需要借助与其他概念之间关系的描述，正因为这种概念间的依存关系，它们就构成了一个完整的概念系统。
（3）定义明确性。
数学概念因其关键特征明显，一般都可以通过某种规则的定义来表述，例如“自然数”“商”“方程”“长方体”等概念。
但，我们在其他领域还会遇到一些难以定义的概念，如教育学中的“教育”，心理学中的“智力”等概念。
单单“文化”这一概念，就有不少哲学家、社会学家、人类学家、历史学家和语言学家一直努力，试图从各自学科的角度来界定它。
然而，迄今为止仍没有获得一个公认的、令人满意的定义。
据统计，有关“文化”的各种不同的定义至少有二百多种。
二、为什么要强调小学数学概念的教学台湾著名学者台北教育大学数学教育研究所张英杰教授，曾通过这样一道题目，研究过小学六年级学生计算能力与理解数学概念的关系。
可装成6 袋，还剩下—公斤。
我们不难发现：学生甲显然知道带分数除以分数的计算规则，就是“将带分数转化为假分数后，再乘以原来除数的倒数”。
但是，对于除法的意义不是很了解。
本题是分装问题，属于“包含除”类型；已知“总数量”和“单位量”，要求“总份数（单位的影响甚深。
学生丙也算错了。
虽然，这三位同学的错误各有各的不同，但至少有一点是相同的他们都没有完全理解分数除法的概念。
简单的讲，我们如果不理解三角形，以及三角形的底和高的概念，就无法正确计算三角形以及含有三角形的组合图形的周长和面积。
同样，不理解平均数的概念也就不谈不上去解决和平均数相关的问题。
再如事实上，命题(或规则)一般都是由若干概念组成的，它揭示了概念间的固有关系，体现了其中的规律，因此命题(或规则)的学习实际上就是掌握概念间的关系，这正是有意义学习的关键。
正确的数学命题（定理、法则、公式等），我们一般称为数学原理，所以概念的掌握是学习数学原理的前提。
再进一步讲，数学思想是对数学对象的本质认识，它是对具体数学概念和原理的认识过程中总结出的基本观点和根本想法。
一百多来以来，世界上许多国家都十分重视数学概念的教学。
早在1906 年，我国学者杨天骥、蒋维乔编校的《初级师范学校教科书——各科教授法》中，关于“算术科”的“教授目的”的第一条就是“要启发数之观念,使知数与数之间关系。
若此事不能，不能为日用之计算。
”此后我国的一些课程标准（教学大纲）均很重视数学概念的教学，这里不再赘述。
再如，德国《小学数学学习纲要》（巴伐利亚州，2000）的课程目标中明确提出“学生认识到，借助算术与几何的基本概念、定律和方法的帮助，可以描述和探讨出他们生活与经验世界的片段。
”新加坡《小学数学教学大纲》（2000）的课程目标中则提出“获得进一步学习数学和其他学科所必须的数学概念和技能。
”当前,美国小学数学课程强调以“每个概念必须精确定义”“数学表述要精确”“每一个断言都能用逻辑推理来证实”“数学是连贯的”和“数学是目标明确的，并且每个概念或技巧都有其目的”为基本原则的新数学课程标准正在积极推广实施。
总之，加强数学概念的教学，对于学生基本数学知识的理解，基本数学原理的掌握，基本数学思想方法的领会，以及基本数学能力的形成都具有举足轻重的作用。
三、小学数学概念的教学原则与方法1.小学数学概念教学的基本原则。
小学数学概念的教学，要充分尊重数学的历史和逻辑，数学概念的特点，和儿童的年龄特点、认知规律，这样学生才能形成完善的认知结构，从而实现意义学习。
也这有这样，学生对数学概念本质的掌握，才能为数学原理的学习作基垫，才能在数学概念与原理的学习过程中实现数学思想方法的领会和数学能力的提升。
现结合小学阶段的数学概念与儿童的相关特点，将小学数学概念的教学的基本原则总结如下：（1）具体性与抽象性相结合高度抽象性是数学概念的基本特点，但是基于小学生的年龄心理特点，为了教学的有效，我们必须对抽象的数学概念作出必要的具体形象化加工，并通过逐步抽象的方式帮助学生理解掌握概念。
比如，小学数学里的“直线”“平面”等原始概念，都比较抽象，我们可以借助“拉直的线绳”“课桌面”“黑板面”等具体事物让学生通过“理想化抽象”来理解掌握概念。
（2）把握概念的系统联系性。
前文已经提及，数学上，先前概念往往是后继概念的基础，也正是数学概念的彼此联系构成了数学的公理化体系。
有意义学习的本质就是新知识与学习者的原有认知结构形成非人为的本质的联系。
这里“非人为的”“本质的”联系，在数学学习上应当依托数学知识的来龙去脉与纵横联系。
（3）严谨性与量力性相结合。
严谨性的要求前文已经叙述，这是由数学和数学概念的特点所决定的。
量力性则是考虑小学生的接受能力，关注教学的“可接受性”的要求。
比如“角”的概念在小学里是通过描述“像…这样的图像叫作角”,或“从一点引出两条射线所组成的图形叫角”来定义的。
只要求学生能对角的概念作静止的描述，不要求学生对角作“一条射线绕着它的端点旋转”的动态刻画。
2. 小学数学概念教学的基本方法。
（1）从数学概念的产生方式确定数学概念的引入方式。
数学概念的产生方式有两种。
一种是直接从对客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到的。
例如，人类在生产与生活中，需要对一些事物进行量的刻画和描述，于是，“数”就产生了；需要对一些事物进行集合意义上的“合”与“分”，于是，四则运算就产生了……另一种是在已有数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而形成的。
例如，人们借助对“已知a，则可得后继数a+1”的理解，就可以获得自然数的无限序列:1,2,3,…,n,n+1,…。
基于以上认识，数学概念的引入方式有两种：一种是从现实生活情境引入；另一种则是从数学知识自身引入。
这两种情形也就是分别通过“水平数学化”和“垂直数学化”的过程来实现学生对概念的理解和掌握的。
比如，我们可以从现实世界中的具体事例引导学生认识具体的自然数1，2，3，4，5……，实质上学生经历了一个水平数学化的过程；在认识了1，2，3，4，5……这些自然数的基础上，进一步得出“自然数”的概念，则需要经历一个垂直数学化的过程。
再如，我们要让学生学习的概念，可以从具体情境中引入新课，并让学生进行充分的经历、感受和体验。
当学生掌握了“三角形”的概念后，我们若要教学“等腰三角形”，就可以直接由抽象的三角形引入。
（2）从数学概念的定义方式考量数学概念的教学方式。
小学数学概念的定义方式主要有三种方式，即“规定性定义”“描述性定义”和“纲领性定义”。
规定性定义：是指人们根据某种需要，通过约定的方式，规定新出现的词（符号）或词组的意义。
如“+”“-”“×”“÷”和“=”等的概念。
这些概念只要直接告诉学生去使用即可。
但，“吨”“千克”和“克”以及“千米”“米”和“厘米”等国际计量单位，虽是人为约定，却有具体质量多少和长短之分，我们要引导学生着重体验它们的主单位，再借助对主单位的认识去理解其他相关单位。
如，质量的主单位千克，长度的主单位米，和容量的主单位升等，我们在教学中要重点引导学生去感受、体验。
描述性定义：是指对被定义的对象作适当的描述，或对如何使用被定义对象作适当的说明。
例如，在小数的初步认识中，是这样描述的：“象0.1，0.05，2.3 等都是小数”。
这样的概念我们要在学生对概念的理解上下工夫。
当在教学小数的意义时，要让学生经历三种不同层次的思维水平：最初层次是联系生活理解小数的思维水平，这是由于学生在生活中或多或少接触过小数(一般比接触分数的机会要多),如货币、长度、重量等等，现行北师大版的“元、角、分和小数”，以及上世纪70 年代左右日本和前苏联的算术教材都有这样的安排，这样处理的目的是借助日常生活中一些常见量的“十进”关系，帮助学生认识小数的意义;高一点的层次是借助直观理解小数的思维水平,最常见的是通过对各种图形 (或物体)进行操作、观察以帮助理解小数的意义；最高的层次是能直接根据小数的意义理解小数，这种思维水平是建立在前两种思维水平的基础之上，并通过抽象、概括等一系列思维活动到来达成的。