江苏省响水中学2019~2020学年度春学期高一年级期中考试数学试题考生注意：1.本试题分第I 卷和第II 卷，共4页.2.满分150分，考试时间为120分钟.第I 卷选择题（共60分）一、选择题（每题5分，计70分）1.cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒的值为（ ） A. 1 B. 0C. -0.5D. 0.5【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式，直接计算，即可求出结果.【详解】()1cos15cos75sin15sin 75cos 1575cos(60)2︒︒+︒︒=︒-︒=-︒=. 故选：D.【点睛】本题主要考查逆用两角差的余弦公式求三角函数值，属于基础题型. 2.已知tan 3α=tan2α的值为（ ）A. 33 C. 3-3【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式求解即可. 【详解】22tan 23tan 231tan ααα-===-故选：B【点睛】本题主要考查了正切的二倍角公式，属于基础题.3.圆()()22244x y ++-=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆的方程得出圆心坐标和半径，求出圆心距，比较圆心距与半径之和的关系，即可得出结果.【详解】因为圆()()22244x y ++-=的圆心为()12,4O -，半径为12r =；圆22(2)(1)9x y -+-=的圆心为()22,1O ，半径为23r =； 则12125O O r r ===+.所以两圆外切. 故选：C.【点睛】本题主要考查判断两圆位置关系，属于基础题型.4.在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a，b ，c ，已知a =c =3A π∠=，则C ∠的大小为（ ） A.π4或3π4B.6π或56πC.6πD.π4【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦定理sin sin a c A C =求得1sin 2C =，再根据a c >知A C >可得答案.【详解】由正弦定理sin sin a c AC =sin sin 3C=，得1sin 2C =，因为a c =>=，所以3C A π<=，所以6C π=.故选：C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，根据a c >得到A C >，这样避免增解，属于基础题.5.已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A .1B. 1-C. 2-或1D. 2或1【答案】D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112a a a -+-⨯-=-+， 解得1a =-，舍去． 综上可得：1a =-. 故选A ．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7.已知ABC 的顶点()0,0A ，()0,2B ，()2,2C -，则其外接圆的方程为（ ） A. 22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】先设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果. 【详解】设ABC 的外接圆的方程为222()()x a y b r -+-=， 因为ABC 的顶点()0,0A ，()0,2B ，()2,2C -，所以222222222(2)(2)(2)a b r a b r a b r ⎧+=⎪+-=⎨⎪--+-=⎩，解得11a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，因此22(1)(1)2x y ++-=即为所求圆的方程. 故选：A.【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型. 8.已知,αβ为锐角，()tan 2,cos ααβ=+=，则tan β=（ ） A. 2 B.211 C.43D.12【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系与商的关系求出tan()2αβ+=-，再利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】因为,αβ为锐角，所以(0,)αβπ+∈.因为cos()αβ+=，所以sin 5)(αβ+==， 因此tan()2αβ+=-.因为tan 2α=，所以 tan()tan 224tan tan[()]1tan()tan 143αβαβαβααβα+---=+-===++-.故选：C.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，考查了两角差的正切公式，解题的关键是熟练掌握三角函数恒等变换公式.属于中档题. 9.已知()0,απ∈，3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.2425B. 2425-C. 725-D.725【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式和二倍角公式将sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为212sin 6πα+⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入数据即可求解. 【详解】212sin 33sin 2sin +2cos +2cos 26266ππππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=-=++ ⎝⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭因为3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以237sin 2126525πα⎛⎫⎛⎫-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式和二倍角公式，属于基础题.10.在圆M ：224410x y x y +---=中，过点N (1，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. B. C. 24 D. 6【答案】A 【解析】【分析】先求得圆的圆心和半径，易知最长弦为直径，最短弦为过点()1,1与AC （直径）垂直的弦，再求得BD 的长，可得面积.【详解】由224410x y x y +---=可得：22(2)(2)9x y -+-=， 故圆心为(2,2)，半径为3r =，由N ()1,1为圆内点可知，过N (1，1)最长弦为直径，即AC =6 而最短弦为过()1,1与AC 垂直的弦，圆心(2,2)到()1,1的距离：d ==所以BD==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：A【点睛】本题考查了直线与圆，圆的方程，圆的几何性质，面积的求法，属于中档题.11.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tanC cos cos c B A =，若2c a ==，则b 的值为（ ）A. 3B. 1C. 2【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sin tan C C C =，结合sin 0C ≠，可求得tan C =()0,C π∈，可求C ，从而根据余弦定理可求b 的值．【详解】∵tan cos cos c C B A =， ∴由正弦定理可得：)()sin tan sin cos sin cos C C A B B A A B C =++=，∵sin 0C ≠，∴可得tan C = ∵()0,C π∈， ∴3C π=，∵c =2a =，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得2174222b b =+-⨯⨯⨯， 可得2230b b --=，∴解得3b =，1b =-（负值舍去）． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，两角和的正弦公式，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，属于中档题.12.若方程122kx k =-+有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A. 31,44⎛⎫-⎪⎝⎭B. 31,44⎛⎤-⎥⎝⎦C. 11,24⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,24⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】方程)0y y ≥=表示半圆、直线21y kx k =-+过定点()2,1B ，数形结合知当直线在直线BD 、BC 之间(包含直线BD )时与半圆有两个交点，求出两直线的斜率即可求得k 的范围.【详解】方程122kx k =-+有两个相异21kx k =-+有两个不同的实根，0y =≥即()2204y x y +=≥表示以()0,0为圆心、2为半径的半圆，直线()2121kx k x y k -+=-+=过定点()2,1B ，如图所示，当直线在直线BD 、BC 之间(包含直线BD )时与半圆有两个交点， 因为直线BC 24231BC BC BC k k =⇒=-+，又()11224BC k ==--， 所以31,44k ⎛⎤- ⎥⎝⎦∈.故选：B【点睛】本题考查函数图象的交点与方程的根、直线与圆的位置关系、直线的定点，将方程的根转化为函数图象的交点是解题的关键，属于中档题.第II 卷非选择题（共90分）二、填空题 13.1sin cos 3θθ+=，则sin 2θ=___________． 【答案】89- 【解析】试题分析：由1sin cos 3θθ+=两边平方，得112sin cos 1sin 29θθθ+=+=，所以8sin 29θ=-．考点：倍角公式．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ：B ：C =1：2：3，则a ：b ：c =______． 【答案】3：： 【解析】 【分析】通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出a 、b 、c 的比即可. 【详解】∵A+B+C=π，A ：B ：C=1：2：3， ∴A=30°，B=60°，C=90°，由正弦定理可知：a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC=．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和，基本知识的考查． 15.函数()sin 2cos 236f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的最小值是____________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两角和的正弦、余弦公式化简函数解析式为正弦型函数，根据正弦函数的范围即可求得函数()f x 的最小值. 【详解】()11sin 2sin 23sin 2322f x x x x x x =-+=++ sin 233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]sin 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，()min 2f x ∴=.故答案为：2【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，属于基础题.16.已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________. 【答案】[0,3] 【解析】 【分析】设(),M x y ，利用3MA MO ⋅=，可得M 的轨迹方程以()0,1为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：设(),M x y ，因为A (0，2)，O (0，0)，所以(,2)MA x y =--，(,)MO x y =--. 因为3MA MO ⋅=，所以()()()()23x x y y --+--=，化简得：22(1)4x y +-=，所以M 点的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()22:21C x a y a -+-+=上， 所以两圆必须相交或相切.所以13≤≤，解得03a ≤≤.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为：[0,3]. 故答案为：[0,3].【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.三、解答题（17、18题每题10分，19、20、21题每题12分，22题14分计80分） 17.根据所给条件求直线的方程：（1）直线经过点(-2，0)（2）与直线30x -+=平行且被圆()(22612x y -+=所截得的弦长为6.【答案】（1）320x y -+=或320x y ++=（2）10x -=或70x --= 【解析】 【分析】（1）由正弦值求得正切，即为所求直的斜率k ，利用点斜式即可得出；（2）根据平行关系可设直线方程0x m +=，再根据垂径定理列等量关系，求参数m .【详解】解：（1）由题可知该直线的斜率存在，设直线的倾斜角为α，则sin α=，∴cos α==∴sin 1tan ,cos 3ααα==± ∴直线方程为320x y -+=或320x y ++=.（2）设直线方程为0x m +=∵弦长为6∴弦心距d ==∴1d m ==⇒=-或7m =-∴直线方程为10x --=或70x -=【点睛】本题考查直线的点斜式方程，考查两直线平行的性质，直线与圆的位置关系，属于基础题18.已知()11sin 14ααβ=+=-，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求()cos 2αβ+的值； (2)求β的值. 【答案】（1）7198-（2）3πβ= 【解析】 【分析】(1)根据角度关系有cos(2)cos cos()sin sin()αβααβααβ+=+-+，再分别求解其中的三角函数值求解即可.(2)根据()sin sin βαβα=+-展开求解得sin 2β=，再根据0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求解即可.【详解】解：(1)∵,0,,sin 2παβα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，∴1cos 7α==，∵()()110,,cos 14αβπαβ+∈+=-，∴()sin αβ+== ∴71cos(2)cos cos()sin sin()98αβααβααβ+=+-+=-(2)()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+=又∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴3πβ=【点睛】本题主要考查了三角恒等变换求解三角函数值与角度的问题，需要根据题意确定合适的和差角公式，并根据同角三角函数值的关系以及角度范围求解所求角的正余弦.属于中档题.19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且45,2A a ∠=︒=. （1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）1sin 3C =（2）12【解析】 【分析】（1）由正弦定理即可算出；（2）先算出cos C ，然后算出sin B ，然后利用1sin 2S ac B =算出答案即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：sin sin a A c C=，∴sin sin A C =，∴21sin3C ==（2）∵3,a =∴c a =，∴cos 3C ==∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=∴11sin 322S ac B ==⨯=【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形和求三角形的面积，考查了学生的计算能力，属于基础题.20.已知直线12:340,:8140l x y l ax y a +=+++=且12l l //.圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A的纵坐标为85-，圆心C 在直线1l 上. （1）求直线12,l l 之间的距离； （2）求圆C 的标准方程；（3）若直线l 经过点)2且与圆C 交于,P Q 两点，当△CPQ 的面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2（2）224x y +=（3）x =342y x =+ 【解析】 【分析】（1）由两直线平等求得a ，然后由平行线间距离公式得距离．（2）求出A 点坐标，可得过A 与2l 垂直的直线方程，由此可得圆心坐标，得圆半径，从而得圆方程； （3）利用1sin 2sin 2CPQ S CP CQ PCQ PCQ ∆=⋅⋅∠=∠知2PCQ π∠=时，面积最大.从而圆，从而求得直线方程． 【详解】解：（1）∵两条线平行， ∴3846a a ⨯=⨯⇒=，直线2l 方程为68200x y ++=，即34100x y ++=，∴2d ==（2）∵2:34100,l x y ++=由834()1005x +⨯-+=得65x =-，∴68,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设过A 与l 2垂直的直线方程为430x y m -+=，684()3()055m ⨯--⨯-+=，0m =， ∴过A 与l 2垂直的直线方程为430x y -=，∴4300,3400x y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，∴圆心为(0，0)，半径为2r ==，∴圆C 的标准方程为224x y += （3）∵1sin 2sin 2CPQ S CP CQ PCQ PCQ ∆=⋅⋅∠=∠， ∴当sin 1PCQ ∠=，即2PCQ π∠=时，面积最大.此时，圆心到直线的距离为2，显然直线2x =满足题意，当直线l 斜率存在时，设方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k --+=，由22221k k -=+，解得2k =，直线方程为22(2)y x -=-，即232y x =+.∴直线l 的方程为2x =或2342y x =+． 【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，考查直线与圆位置关系，考查直线与圆相交问题中三角形面积最值．求平行线间距离时，两直线方程中,x y 的系数分别相同，在求直线方程时要分类讨论，分直线的斜率存在和不存在两种情形，求直线与圆相交的弦长时常常用几何方法求解．21.如图所示，某小区内有一扇形绿化带OPQ ，其半径为2m ，圆心角为3π.现欲在扇形弧上选择一点C 将该绿化带分割成两块区域，拟在△OPC 区域内种植郁金香，在△OCQ 区域内种植薰衣草.若种植郁金香的费用为3千元/2m ，种植薰衣草的费用为2千元/2m ，记COP θ∠=，总费用为W 千元.（1）找出W 与θ的函数关系； （2）试探求费用W 的最大值. 【答案】（1）6sin 4sin ,0,33W ππθθθ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）费用的最大值为27 【解析】【分析】（1）求出三角形面积后可得费用W ；（2）由两角差正弦公式展开化简函数式，然后利用辅助角公式求得最大值． 【详解】解：（1）22132sin 22sin 6sin 4sin ,0,21323323OCP OCQ W S S πππθθθθθ∆∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯⨯-=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭⎝⨯⎭⨯（2）∵326sin 4sin 6sin 4(sin cos cos sin )333OCP OCQ W S S πππθθθθθ∆∆⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭4sin θθ=+θθ⎫=⎪⎪⎭，设cos ϕ=sin ϕ=，ϕ为锐角，tan ϕ=>(,)62ππϕ∈，∴(),3W πθϕϕθϕϕ=+<+<+，∵62ππϕ<<，∴当2πθϕ+=时，费用的最大值为.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，考查两角和与差的正弦公式，考查辅助角公式，解题关键是列出函数关系式，本题属于中档题． 22.已知圆C ：()()22234x y -+-=.（1）求经过点()2,5且与圆C 相切的直线方程；（2）设直线:l y x n =+与圆C 相交于A ，B 两点，若2CA CB ⋅=，求实数n 值； （3）若点M 在以(),2N a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为4的两点P ，Q 在圆C 上，求MP MQ ⋅的最小值.【答案】（1）5y =；（2）1n =+或1n =；（3）32-【解析】 【分析】（1）点()2,5就在圆上，且与圆心横坐标一样，则可直接写出切线方程；（2）由数量积的运算可得cos ACB ∠，则60ACB ∠=︒，进而可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离可得实数n 的值；（3）利用向量的几何运算可得()22414MP MQ MC NC ⋅=-≥--，求出NC 的最小值，即可得MP MQ ⋅最小值.【详解】解：（1）因为()()2222534-+-=，则点()2,5就在圆C 上，故点()2,5就是切点，又圆心为()2,3 则切线斜率为0，所以经过点()2,5且与圆C 相切的直线方程5y =； （2）∵cos 4cos 2CA CB CA CB ACB ACB ⋅=⨯⨯∠=∠=1cos 2ACB ∴∠=，又0180ACB ≤∠≤， ∴60ACB ∠=︒，则圆心到直线的距离为2sin 603⨯=∴1d n ===或1n =；（3）∵()()()2MP MQ MC CP MC CQ MC CP CQ MC CP CQ ⋅=+⋅+=++⋅+⋅()22414MC NC =-≥--，∴当NC 最小时，MP MQ ⋅最小，∵NC ==∴当72a =时，NC 取得最小值为2，此时MP MQ ⋅最小为231422⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查圆和向量相结合的最值问题，是中档题.。