（2）弹性体的运动微分方程的位移表示形式；
E 1 e 2u X 2u 0 2(1 ) 1 2 x t 2
E 1 e 2v Y 2v 0 2(1 ) 1 2 y t 2
表明： 式（a）给出位移状态的弹性波为无旋波。也称膨胀波、集散波。
（2）无旋波的波动方程 由位移分量： 得到：
（a） , w u , v y x z 2 2 2 u v w 2 2 2 2 e y z x y z x e e 2 e 2 2 2 v, 2w u, y z x x x
（12-3）
1 e 2v E 2 E (1 ) 其中： 2 1 2或 y v 2G （12-2） c1 2(1 ) t c1 （12-4） (1 )(1 2 ) 1 e 2w E 2 式中：、G 为拉密（Lame）系数。 c —— 代表无旋波的传播速度 2 1 2 1 z w t 2(1 )
2 w 1 e G 2 w 2 z t
§12-2 弹性体中无旋波与等容波
1. 引言
弹性波： 当弹性体受与时间相关载荷作用后，其位移、应力、形变以波动 形式用有限的速度由载荷作用处向外传播的现象，称为弹性波。
弹性波基本形式：在无限大弹性中，有 无旋波、等容波。
2. 无旋波
弹性波基本形式：在无限大弹性中，有 无旋波、等容波。 （1）无旋波的位移分量 设无限大弹性在外力作用下，其位移：u、v、w 可用如下形式表示：
v , w u , （a） y x z 则称： ( x, y, z , t ) 为位移势函数。 —— 无旋位移


将其代入弹性体的运动微分方程（12-2），得无旋波的波动方程：
2u 2u 2 2 E 2 v 12 2e 22 2 2 w 2 1 u, c c1 v, 2u c1 w 2 2 t t 2(1 )t 1 2 x t
或表示成：
z
w
v
O x
u
v
y
u w
2u x yx zx X 2 x y z t 2v xy y zy Y 2 x y z t 2 w xz yz z Z 2 x y z t
（12-7）
对于无旋波：c = c1；
用 代表 x、y、z、t 中任一 变量，并对上式作如下运算：
2 0 c 2 2 0 t 2
0 ( x, y, z, t ),
对于等容波：c = c2 。
则有：
0 可见： 也是方程（12-7）的解。 即： 若： 0 ( x, y, z, t ),
是波动方程（12-7）的解， 则其导数也一定是该波动方 程的解。 结论1： 弹性体中，应力、形变、质点 的速度等都以位移相同的方式 和速度进行传播。

20 2 2 2 t c 0


交换求导次序，有
2 0 2 2 0 c 2 t
或
位移边界条件：
u f1 ( x, y, z ) t t t0 v f 2 ( x, y , z ) t t t0 w f 2 ( x, y , z ) t t t0
初始位移：
us u (t ) vs v (t ) ws w (t )
说明：弹性动力学问题边界条件的形式 与静力学问题相同，但式中各物 理量均为时间变量的函数。
z
w
应力： x , y , z , yz , zx , xy
u, v, w
2 2
v
O
u
v
y
—— 为体积力， 为质量密度。
其中：
u w
u v w u 2 , v 2 , w 2 t t t
说明如下：
1 v u ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 x y
其中
v x u y
—— x 方向的线段绕 z 轴转角； —— y 方向的线段绕 z 轴转角；
—— 表示弹性体内一点绕 z 轴的旋转量
—— 表示弹性体内一点绕 z 轴的旋转量 同理，可给出弹性体内一点绕 x、y 轴的旋转量：
1 e 2u E 2 2 1 2 x u t 2(1 ) 1 e 2v E 2 2 1 2 y v t 2(1 ) 1 e 2w E 2 2 1 2 z w t 2(1 )
本节小结
1. 无旋波
—— 膨胀波、集散波。
（1）无旋波的位移分量
v , w u , y x z
（2）无旋波的波动方程及波速
（a） —— 称为无旋位移
2u c12 2u, t 2
2v 2w c12 2 v, c12 2 w t 2 t 2
E 1 e 2 w Z 2 w 0 2(1 ) 1 2 z t 2
（12-1）
e u v w 其中： x y z
—— 按位移求解动力学问题的基本方程 也称拉密（Lame）方程 —— 体积应变
3. 弹性体动力学问题的定解条件
应力边界条件； 边界条件 动力学问题的定解条件包括： 初始条件 位移边界条件； 初始位移； 初始速度。
边界条件 应力边界条件：
初始条件
l x s m yx s n zx s X l xy s m y s n zy s Y
初始速度：
l xz s m yz s n z s Z
2
x
弹性体的动力学微分方程为：
x yx zx 2u X 2 0 x y z t xy y zy 2v Y 2 0 （a） x y z t xz yz z 2w 0 Z 2 x y z t
（12-2）
对于体力为常量时，只要将坐标原点建立在静平衡位置，即得到上 述运动微分方程。
式（12-2）也可表示成：
2u 1 e G 2u 2 x t
v 1 e G 2 v 2 y t
2
（12-2′）
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
张量表示 （8-1）
ij,i X j 0
适用性： 外力缓慢变化，接近于连续施加的情形。 —— 称为弹性静力学问题 特 点： 应力、应变、位移仅为坐标变量的函数，与时间变量无关。 当外力作用后，随即在各点引起应力、应变、位移。
2. 弹性体的动力学微分方程
—— 也称运动微分方程
当外力的作用，明显与时间变量有关时，称为动载荷。如：
冲击载荷、周期性变化的载荷、间隙变化的载荷、地震波作用等。 特 点： 应力、形变、位移均随时间变化；
应力、形变、位移由载荷作用位置向远处传播；
需考虑质点运动的加速度的影响； 微元体受力： 体力： X , Y , Z 惯性力：
1 2w E 2 说明： 无旋波与等容波的波动方程具有相同的形式。 e 2 1 2 z w t 2(1 )
4. 波动方程解的特征
将无旋波、等容波的波动方程表示成统一形式：
2 c 2 2 t 2
设方程（12-7）存在一个解：
3. 等容波
设弹性体的位移：u、v、w ，满足：
u v w e 0 x y z
等容波的波动方程 由运动微分方程（12-2）， 可得：
（d） —— 称为等容位移
对应于这种位移状态的弹性波称为等容波， 也称为等体波、畸变波。
2u 2v 2w 2 2 2 c2 2u, c2 2 v , c2 2 w 2 t 2 t 2 2 t
第十二章
要点：
弹性波的传播
（1）弹性体的动力学方程与定解条件；
（2）无限大弹性体中波的种类与传播特征。
主
要
内
容
§12-1 弹性体的运动微分方程 §12-2 弹性体中无旋波与等容波 §12-3 平面波的传播
§12-4 表层波的传播
§12-5 球面波的传播
§12-1 弹性体的运动微分方程
1. 弹性体的静力微分方程及其适用性
式中：
（12-5）
c2
u E 1 e 2u t 2 E (1 ) G1 2 x 2
2
（12-6） (1 ) E 1 e v —— 等容波的传播速度 2v （12-2） t 2 2(1 ) 1 2 y
u t t u ( x, y , z )
0
v t t v ( x, y , z )
0
w t t w( x, y, z )
0
4. 弹性体动力学问题的其它方程
物理方程和几何方程： —— 同弹性静力学问题的物理方程与几何方程，所不同的 是其中各物理量均为时间变量的函数。 不计体力时的弹性体运动微分方程：
1 v u z 2 x y
（b）
1 w v x , 2 y z
1 u w y 2 z x
（c）
将位移分量式（a）代入上式（b）、（c），有
1 w v 1 2 2 x y z 2 yz zy 0 2 2 2 1 u w 1 y zx xz 0 2 z x 2 1 2 2 1 v u z xy yx 0 x y 2 2