小世界复杂网络模型研究摘要：复杂网络在工程技术、社会、政治、医药、经济、管理领域都有着潜在、广泛的应用。

通过高级计算机网络课程学习，本文介绍了复杂网络研究历史应用，理论描述方法及阐述对几种网络模型的理解。

1复杂网络的发展及研究意义1.1复杂网络的发展历程现实世界中的许多系统都可以用复杂网络来描述，如社会网络中的科研合作网、信息网络中的万维网、电力网、航空网，生物网络中的代谢网与蛋白质网络。

由于现实世界网络的规模大，节点间相互作用复杂，其拓扑结构基本上未知或未曾探索。

两百多年来，人们对描述真实系统拓扑结构的研究经历了三个阶段。

在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统要素之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网；从20世纪50年代末到90年代末，无明确设计原则的大规模网络主要用简单而易于被多数人接受的随机网络来描述，随机图的思想主宰复杂网络研究达四十年之久；直到最近几年，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特性的网络，其中最有影响的是小世界网络和无尺度网络。

这两种网络的发现，掀起了复杂网络的研究热潮。

2复杂网络的基本概念2.1网络的定义自随机图理论提出至今，在复杂网络领域提出了许多概念和术语。

网络（Network）在数学上以图（Graph）来表示，图的研究最早起源于18世纪瑞士著名数学家Euler的哥尼斯堡七桥问题。

复杂网络可以用图论的语言和符号精确简洁地加以描述。

图论不仅为数学家和物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。

网络的节点和边组成的集合。

节点为系统元素，边为元素间的互相作用（关系）。

若用图的方式表示网络，则可以将一个具体网络可抽象为一个由点集V和边集E 组成的图G=（V,E ）。

节点数记为N=|V|，边数记为M=|E|.E 中每条边都有V 中一对点与之相对应。

如果任意点对（i,j ）与（j,i ）对应同一条边，则该网络成为无向网络（undirected network ），否则称为无权网络（unweighted netwo rk ）。

当然，无权网络也看作是每条边的权值都为1的等权网络。

2.2 复杂网络的基本概念复杂网络结构的有很多概念和方法，其中基本的概念是：平均路径长度(average path length)、集聚系数(clustering coefficient)和度分布(degree distribution)。

图1平均路径长度：网络中的任意两点间有一条最短的路径，它等于沿这条路径从一点走到另一点所经过的最少边数，平均路径长度表示网络中所有的节点对之间的最短路径的平均值。

如图1所示：• D(ab)=1, D(ac)=1, D(ad)=2• D(bc)=1, D(bd)=2• D(cd)=1• L=(1+1+2+1+2+1)/6 = 8/6集聚系数：社会上形成了许多派系（Clique ）或集团，同一派系里的人两两相互认识。

为了描述网络中与同一节点直接相连的节点之间的连接关系，人们引进了集聚系数这一概念：假定某一节点i 有Ki 个最近邻，那么在这些最近邻的点之间最多可能存在Ki(Ki-1)/2条边，用Ci 表示这些可能存在的边中实际上存在的百分比。

对网络中所的Ci 取平均值，就得到集聚系数C ，它描述了网络中点与点集结成团的趋势。

如图1所示：• Ca=1 (because b and c connected)• Cb=1 (because a and b connected)• Cc=1/3 (a-b, not b-d, not a-d)•Cd=0•Average clustering = (7/3) /4=7/12度分布：节点的度也称为连通度，它指的是与该节点连接的边数。

度分布P(k)函数表示节点有k条边连接（即有k个最近邻居）的概率。

如图1所示：Ka=2, Kb=2, Kc=3, Kd=12.3复杂网络的分类根据节点度的分布情况，可以将复杂网络分为指数网络和无尺度网络两大类。

指数网络中的节点是同质的，它们的度大致相同，绝大部节点的度都位于网络节点平均度附近，网络节点度分布随度数的增加呈指数衰减，使得网络中不存在度数特别大的节点，最经典的两种指数网络是Erdös与Rényi于1960年提出的Erdös-Rényi（ER）随机图模型和Watt与Strogatz在1998年提出的Watt-Strogatz小世界网络模型（WS模型）。

随机图与小世界网络的主要区别是：前者的簇系数小，而后者的簇系数大。

目前，把具有较小平均路径长度和较大簇系数的网络统称为小世界网络，这一说法已得到学术界的公认。

无尺度网络中的节点是异质的，其节点度服从幂律分布。

最著名的无尺度网络模型是1999年Barabási和Albert建立的Barabási-Albert无尺度网络模型（BA模型或BA网络）。

在无尺度网络中，大部分节点只与少数几个其它节点连接，但网络中存在为数不多的度数特别大的节点，称为集散节点（或hub节点），它对无尺度网络的特性起着主导和支配作用。

从生成方式上可将复杂网络分成随机性网络和确定性网络。

顾名思义，随机网络的生成是随机的，尽管生成规则相同，每次在电脑上模拟生成的网络却存在差异性；确定性网络的生成规则是确定的，其结构特性可以精确求解。

从边的方向性上可将网络分为无向网络和有向网络，无向网络的边不存在方向性，有向网络的边却有方向。

从边有无权值可将网络分为加权网络和0-1网络。

3 对几种网络模型理解3.1 小世界网络小世界网络，是指具有较短的平均路径长度又具有较高的聚类系数的网络就称为小世界网络。

那么规则网络和随机图是否符合小世界网络特性呢？在此，仅对规则网络的认知进行一个详细阐述。

规则网络—全耦合网络：如图2所示● 最多的边数N(N-1)/2；● 所有节点的度都为最大数N ；● 任意两个节点之间的距离都为1，因而具有最小的网络直径和平均路径长度；● 任一节点的聚类系数都为1，因而具有最大的网络聚类系数 1图2规则网络—最邻近网络：如图3所示● 每一个节点只和它周围的邻居节点相连。

● 具有周期边界条件的最近邻网络包含N 个围成一个环(Ring)的点，其中每个节点都与它左右各K 个邻居点相连。

● 整个网络的聚类系数（平均距离）就是网络中任一节点的聚类系数（平均距离）3(1)2(21)ring K C K -=-(22)4(1)4ring N N K N L K N K -+=-图3规则网络—星形网络星形网络是通信网络中的一种典型结构，其中的中心节点称为集线器(Hub)。

这种通信网络结构便于集中控制。

如图4所示图4其平均路径长度与集聚系数分别为：通过对规则网络平均路径长度和集聚系数的分析不难看出，规则网络并不具备小世界网络的特性。

同样，随机图也不具备小世界网络的特性。

那么小世界网络的集聚系数和平均长度又分别如何呢？在W-S 模型中，其集聚系数为：可以看出，与规则网络一样，WS 模型的集聚系数与网络的大小无关。

在W-S 模型中，其平均路径长度可以得到如下公式：其中f(u)为一普适度函数，满足 )(),(1pKN f K N p N l d ∝3)1()1(4)2(3p K K C ---=u<<1u>>1被随机选择又重新连结的边称为长程连接（捷径），它对整个网络的平均路径长度有着很大的影响，试验表明：当P>=2/NK，即在保证系统中至少出现一条长程的情况下，系统的平均路径长度开始下降。

即使是相当少的长程连接，也能够显著地减小网络的平均路径长度。

这是因为每出现一条长程连接，它对整个系统是的影响是非线性的，它不仅影响到被这条线直接连着的两点，也影响到了这两点的最近邻居、次近邻居等等。

因此，与规则网络、随机图相比，小世界网络具有较短的平均路径长度有具有较高的集聚系数。

3.2无尺度网络模型ER模型和WS模型的度分布与许多现实网络都不相符，用它们来描述这些现实网络，具有很大的局限性，因此科学家们只好寻求另一种模型，来更好地描述这些现实网络。

1999年，Barabási和Albert通过追踪万维网的动态演化过程，发现了许多复杂网络具有大规模的高度自组织特性，即多数复杂网络的节点度服从幂律分布，并把具有幂律度分布的网络称为无尺度网络。

Barabási认为，增长和择优连接是无尺度网络形成的两种必不可少的机制，这一观点已被学术界普遍接受。

最原始的无尺度网络模型称为Barabási-Albert（BA）模型（或称为BA网络），它是第一个随机的无尺度网络模型。

在BA模型生成的初始时刻，假定系统中已有少量节点，在以后的每一个时间间隔中，新增一个节点，并与网络中已经存在一定数目的不同节点进行连接。

当在网络中选择节点与新增节点连接时，假设被选择的节点与新节点连接的概率和被选节点的度成正比，人们将这种连接称为择优连接。

BA网络最终演化成标度不变状态，即节点度服从度指数等于3的幂律分布。

BA模型的平均路径长度很小，簇系数也很小，但比同规模随机图的簇系数要大，不过当网络趋于无穷大时，这两种网络的簇系数均近似为零。

无标度网络的拓扑结构示意图，如图5所示图54对复杂网络在现实生活应用的理解从认知领域上来说，任何事物都不是单一孤立的。

因此，对于网络可以研究的内容是非常之多，真实世界中的网络大致可以分为四种：社会网络，信息网络，技术网络和生物网络。

从复杂网络的整个发展来看，在过去的几百年中，其理论体系研究取得了巨大的成果，尤其是在近几十年中更是有着突飞猛进的进步。

同时，随着信息技术的飞速发展，大数据时代的来临，也使得可供研究的数据也越来越丰富，并且实际系统和实际问题的巨大需求也不断推动着复杂网络理论研究的进步。

比如云计算网络、超大规模网络、物联网、智能电网、移动互联、社交网络网等网络的研究，以及交通系统、传染病的控制、信息推荐系统、人工智能、大数据下图像识别算法研究等，都离不开复杂网络理论的支持，其前景可谓极其广阔。

当然机遇与挑战是并存的，当前，复杂网络主要面临的挑战有：基本理论问题、复杂系统理论在实际系统中的应用问题、算法问题、网络中动力学的普适性和差异性问题、网络信息挖掘和预测问题、网络控制问题、含有时空信息的网络科学问题、网络中微观个体的角色界定问题、不同类型网络的普适性和差异性问题、从微观到宏观结构的自组织演化问题等十个问题。