罗尔中值定理的内容及证明方法（一）定理的证明证明：因为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和m 表示，现在分两种情况讨论：1.若m M =，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必为常数，结论显然成立。
2.若m M >，则因为)()(b f a f =使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是)(x f 的极值点，由条件)(x f 在开区间()b a ,内可导得，)(x f 在ξ处可导，故由费马定理推知：0)('=ξf 。
（二）罗尔中值定理类问题的证明罗尔中值定理在微分学解题中有着广泛的应用，下面我们就对罗尔中值定理的应用作深入的研究，归纳出证题技巧。
1.形如“在()b a ,内至少存在一点ξ，使k f =)('ξ”的命题的证法。
(1)当0=k 时，一般这种情况下，我们只需验证)(x f 满足罗尔定理的条件，根据罗尔定理来证明命题。
在证明过程中，我们要注意区间的选取，有时候所需验证的条件并不是显而易见的。
例1 设)(x f 在闭区间[]1,0上连续，开区间()1,0内可导，⎰=132)(3)0(dx x f f 。
证明：()1,0∈∃ξ，使0)('=ξf分析：由于所需验证的罗尔中值定理的条件并不是显而易见的，而且这个问题涉及到定积分，所以我们考虑运用积分中值定理的知识，尝试在()1,0中找到一个区间()η,0，在()η,0中运用罗尔中值定理去证明。
证：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=-==⎰1,32,)()()321(3)(3)0(132ηηηf f dx x f f 显然)(x f 在闭区间[]η,0上连续，在开区间()η,0内可导根据罗尔定理，()1,0∈∃ξ，使0)('=ξf(2)当0≠k 时，若所证明的等式中不出现端点值，则将结论化为：0)('=-k f ξ的形式，构造辅助函数)(x F ，我们就可以运用(1)中的方法证明命题。
我们在构造辅助函数时，可用观察法、积分法、递推法，常数k 法等等。
例2 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，证明：在()b a ,内至少存在一点ξ，使[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=-证：要证明[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=-只需证[]0)()()()(2'22=---ξξf a b a f b f故令)()())()(()(222x f a b a f b f x x g ---=，则)(x g 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且)()(b g a g =故，()b a ,∈∃ξ，使得0)()())()((2)('22'=---=ξξξf a b a f b f g即：[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=-2.应用罗尔定理来讨论方程的根：解决这类问题首先要构造一个函数，使该函数的导数是结论中的函数。
例3 证明方程)(23423c b a cx bx ax ++=++在()1,0内至少有一实根。
分析：若令)(234)(23c b a cx bx ax x f ++-++=，则)0(f ，)1(f 的符号不易判别，所以不适合运用介值定理，因此我们采用罗尔中值定理来证明。
证：令x c b a cx bx ax x f )()(234++-++=，则)(x f 在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且0)1()0(==f f 。
由罗尔中值定理可知：()1,0∈∃ξ，使0)('=ξf 。
即0)(23423=++-++c b a cx bx ax所以方程)(23423c b a cx bx ax ++=++在()1,0内至少有一实根例4 若)(x f 可导，试证明在)(x f 的两个零点之间，一定有0)()('=+x f x f 的零点。
分析：要证0)()('=+x f x f 存在零点，我们需要构造一个辅助函数)(x F ，使得)()()(''x f x f x F +=，将问题转换为)('x F 的零点存在问题。
证：令)()(x f e x F x =,设1x ，2x 为)(x f 的两个零点，即0)(1=x f ，0)(2=x f 。
则有0)()(21==x F x F 。
假设21x x <，有)(x F 在[]21,x x 上连续，在()21,x x 内可导。
由罗尔中值定理可得，()21,x x ∈∃ξ，使0)('=ξF ,即0)()('=+ξξξξf e f e ，又因为0≠ξe ，故0)()('=+ξξf f 。
所以，在)(x f 的两个零点之间，一定有0)()('=+x f x f 的零点。
（三）广义的罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理中最基本的定理，也是证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。
下面我们对广义的罗尔定理进行讨论。
广义的罗尔定理有多种形式，它们的特点就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后得到广义的罗尔中值表达式。
广义的罗尔定理有多种形式。
形式1：若函数)(x f 在()+∞,a 内可导，且)(lim )(lim x f x f x a x +∞→→=+，则在()+∞,a 内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
证：若A x f ≡)(，则结论显然成立。
若A x f ≠)(，不妨设),(0+∞∈a x ，使A x f <)(0，由A x f x f x a x ==+∞→→+)(lim )(lim ，知：对)(00x f A -=ε，0x X >∃，a x -<0δ，当X x >，),(δ+∈a a x 时，有A x f A x f ->-)()(0，则)()(0x f x f >。
又)(x f 在[]X a ,δ+上连续，故必存在最小值m ，即[]X a c ,δ+∈∃，使m c f =)(。
又当X x >，),(δ+∈a a x 时，都有)()()(0c f m x f x f =≥≥，则m c f =)(也是)(x f 在()+∞∞-,上的最小值。
故由费马定理知，0)('=c f例5 设函数)(x f 在区间[)+∞,0上可导，且有xx x f +≤≤1)(0，证明0>∃ξ，使222')1(1)(ξξξ+-=f 。
证：令21)()(x x x f x F +-=，因为x x x f +≤≤1)(0，所以0)(lim )0(0==→x f f x 。
又因为01lim =++∞→x x x ,所以0)(lim =+∞→x f x 。
而0)1)((lim )(lim 200=+-=++→→xx x f x F x x ，0)1)((lim )(lim 2=+-=+∞→+∞→xx x f x F x x ，所以)(lim )(lim 0x F x F x x +∞→→=+，故)(x F 在()+∞,0可导。
由广义的罗尔中值定理，()+∞∈∃,0ξ，使0)('=x F ，即222')1(1)(ξξξ+-=f 。
形式2：若函数)(x f 在()b ,∞-内可导，且)(lim )(lim x f x f bx x -→-∞→=，则在()b ,∞-内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
证明方法与形式1类似。
例6 求证函数211)(xx x f +=在()1,-∞-内至少存在一点c ，使得0)('=c f 。
证：显然函数211)(x x x f +=在开区间()1,-∞-内可导，且有0)(lim =-∞→x f x ，0)(lim 1=--→x f x 。
则由形式2可知，在()1,-∞-内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
而3'2'2'2111)(x x x x x x x f +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=，故0)2('=-f 。
形式3：若函数)(x f 在()b a ,内可导，且A x f x f b x a x ==-+→→)(lim )(lim (A 为有限数或∞±)，则在),(b a 内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
证：若A 为有限数，当A x f ≡)(,显然结论成立。
若A x f ≠)(，必()b a x ,0∈∃，使A x f ≠)(0。
不妨设A x f >)(0，R ∈∃η，使得)(0x f A <<η。
而A x f x f bx a x ==-+→→)(lim )(lim ，由局部保号性，必),(1δ+∈∃a a x ，使)()(01x f x f <<η，),(2b b x δ-∈∃，使)()(02x f x f <<η。
因为)(x f 在),(b a 可导，所以)(x f 在[]01,x x ，[]02,x x 连续。
由介值定理，()011,x x c ∈∃，()022,x x c ∈∃，使η==)()(21c f c f 。
)(x f 在[]21,c c 利用罗尔中值定理，()()b a c c ,,21⊂∈∃ξ，使得0)('=c f 。
若+∞=A ，由+∞==-+→→)(lim )(lim x f x f bx a x ，A x f ≠)(0，知()b a x ,0∈∃，使得A x f <)(0),(11δ+∈∃a a x ，使A x f >)(1，则有)()(10x f A x f <<),(22b b x δ-∈∃，使A x f >)(2,则有)()(20x f A x f <<。
再由)(x f 在),(b a 连续，()101,x x c ∈∃，()202,x x c ∈∃，有A c f c f ==)()(21,在[]21,c c 利用罗尔中值定理，有0)('=c f 。
例7 求证函数)3)(1(1)(--=x x x f 在()3,1内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
证：显然函数)3)(1(1)(--=x x x f 在()3,1内可导，且有-∞=+→)(lim 1x f x ，-∞=-→)(lim 3x f x 。
则由形式3可知，在()3,1内至少存在一点c ，使0)('=c f 。
而'''')3()1()2(2)3)(1(1)(---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x x x x x x f ，故有0)2('=f 。