|A|=17 |B|=30 |C|=13 |A∩B∩C|=5 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C| -|A∩B|-|A∩C|-|B∩C| +|A∩B∩C|=35 所以 |A∩B|+|A∩C|+|B∩C|=30 所求数目= |A|-|A∩B|-|A∩C| +|A∩B∩C| +|B|-|B∩C| |-|A∩B +|A∩B∩C| +|C|-|A∩C|-|B∩C| +|A∩B∩C| =60-2×30+3×5=15
70、36。问阴影部分（黄色）的面积是多少？ A．15 B．16 C．14 D．18
11.三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投 出了5票，并且每幅作品都有专家投票。如果 三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投 票的列为B等，仅有一位专家投票的作品列为 C等，则下列说法正确的是（ D ）。 A. A等和B等共6幅 B. B等和C等共7幅
120-(50+45+40-15-10-8+4)=14(人)
6.分母是1001的最简分数一共有多少个？ 解：这一题实际上就是找分子中不能整除 1001 的数。由于 1001=7×11×13 ，所以就 是找不能被7，11，13整除的数。
如图
7的倍数143个 11的倍数91个
13
11 7
13的倍数77个
子一共被剪成了多少段？
59+39-19=79
9.在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖 券。按奖券标签号发放奖品的规则如下： （1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔； （2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔； （3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖1支铅笔。那么游艺会为该项活动准备 的奖品铅笔共有多少支？ 解：(50-16)×2+(33-16)×3+16×5+33×1=242
10. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号 各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫
有10件，小号蓝色衬衫有多少件?
解：设小号和蓝色分别为两个事件A和B，
小号占50%，蓝色占75%，则： 100=50+75+10- |A∩B|，得： |A∩B| =35。
【2004年山东真题】某单位有青年员工85人， 其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑 车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳 的有（ ）人
A.57
B.73
C.130
D.69
|B|=62
解：设A={自行车}，B={游泳}， |A|=68
全体 A B A B
85= |A|+|B|- |A∩B|+12 |A∩B|= (68＋62+12) -85= 57
容斥原理
在计数时，先把包含于某内容中的所有对 象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计 算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏 又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 “容”就是“相容”和“包含”的意思，“斥”
就是“相斥”和“排除”的意思。所以，容斥
原理又称包含与排除，或者排除法。
容斥原理1 如果被计数的事物有A、B两类， 那么，A类与B类元素个数总和= A类元素个数+ B 类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
A
A∩B
B
A B A B A B
1. 某班学生每人家里至少有空调和电脑两
种电器中的一种，已知家中有空调的有41
人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，
这个班有学生多少人？
解：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-A∩B∣ =39+37-25=51(人)
2.一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12 人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那
17
18
15
6
6
5
2
学生人数=17+18+15-6-6-5+2+4=39人
5．某大学有外语教师120名，其中教英语
的有50名，教日语的有45名，教法语的有
40名，有15名既教英语又教日语，有10名
既教英语又教法语，有 8 名既教日语又教
法语，有 4 名教英语、日语和法语三门课，
则不教三门课的外语教师有多少名?
1001-【143+91+77-13-11-7+1】=720
7.【国考2010-47】某高校对一些学生进 行问卷调查。在接受调查的学生中，准备 参加注册会计师考试的有63人，准备参加
英语六级考试的有89人，准备参加计算机
考试的有47人，三种考试都准备参加的有
24人，准备只选择两种考试都参加的有46
x
24
英语89
y
计算机47
z
x+z+y=46
63+89+47-(x+24)+(y+24)+(z+24)]-24+15=120
8.【2005年中央A类真题】对某单位的100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球 赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，
38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜
欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢
9. 某班有35个学生，每个学生至少参加英语小
组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小
组。现已知参加英语小组的有17人。参加语文 小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果 有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生 只参加了一个小组？ A.15 B.16 C.17 D.18
17
30
英 5
语
数13
总数为32人，在第一次考试中有26人及格，
在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，
都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的
人数是( A．22
解： |A|=26
)。 B．18
|B|=24
C．28
D．26
|A|+|B|=26＋24＝50；
|A∪B|=32-4＝28， |A∩B|= |A|+|B|- |A∪B|=50-28＝22
设X为只参加了一个小组 Y为只参加了两个小组 X+Y+5=35 17+30+13-Y（因为多加了一次）-2×5（因 为多加了两次）=35 Y=15 X=15
10.如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、
160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放
在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、
A
M
O
B
12.如下图所示，在长方形内画出一些直 线，已知边上有三块面积分别是13，35， 49．那么图中阴影部分的面积是多少？
A 解：SABC+SCDE+（13+49+35） 49 35 D
=S长方形+S阴影
SABC = SCDE = 1/2S长方形 S阴影 = 13+49+35 =97
E
13
B
小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有
24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和
音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个
小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有 7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加 课外小组的同学共有多少人？
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-B∩C|+|A∩B∩C|
么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
15
4
12
3. 一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高 两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参 加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学 生有多少人？
解：设A={跑步}，B={跳高}，要求|A∩B|
|A∪B| =48 |A|=37 |B|=40
|A∩B|= |A|+|B|- |A∪B|
=37+40-48=29
4．求不超过20的正整数中是2的倍数或3 的倍数的数共有多少个。
解：设A={20以内2的倍数}，B={20
以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的 倍数个数，即求∣A∪B∣。 |A|=10 |B|=6 |A∩B|=3
|A∪B|= =10+6-3=13
二. 三集合类型 容斥原理2 如果被计数的事
物有A、B、C三类，
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B||A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
三集合 A
A∩B
A∩B∩ C
B
A∩C
B∩ C
C
A1
4
2B
1+5+4+7=A 2+4+6+7=B
7 5
C3
3+6+5+7=C
6
1. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个
C
13.如图所示，长方形ABCD的两条边长分别 为8ｍ和6ｍ，四边形OEFG（绿色）的面积
是4ｍ2，则阴影部分的面积为？
A.32 ｍ2 B.28 ｍ2 C.24 ｍ2 D.20 ｍ2
蓝+黄=3/4整个面积 黄+绿= 1/4整个面积 蓝-绿=2/4整个面积 蓝=24+4=28
思考题 1．有128位旅客，其中25人既不懂英语、 又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语， 请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？ 2．六一班有学生46人，其中会骑自行车 的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又 会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会 游泳的有多少人？
5. 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有