利用空间向量求空间角和距离A 级——夯基保分练1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( )A.3030 B ．3015C.3010D.1515解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0，0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→＝(－1，－1，－2)，D 1N ―→＝(1,0，－2)，∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→||B 1M ―→|·|D 1N ―→|＝|－1＋4|1＋1＋4×1＋4＝3010. 2.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535B ．277C.33D.24解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)，∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E ―→＝0，n ·D 1C ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)．∴cos DC 1―→，n＝DC 1―→·n |DC 1―→|·|n|＝33535， ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为33535.3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12 B ．23C.33D.22解析：选B 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴A 1D ―→＝(0,1，－1)， A 1E ―→＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1D ―→＝0，n 1·A 1E ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2，∴n 1＝(1,2,2)． 又平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23. 即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.4.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )A.35 B ．56C.3310D.3610解析：选A 设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B 1()0，3，2，F (1,0,1)， E ⎝⎛⎭⎫12，32，0，G (0,0,2)， B 1F ―→＝()1，－3，－1，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－32，1，GF ―→＝(1,0，－1)．设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ EF ―→·n ＝0，GF ―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，故n ＝()1，3，1为平面GEF 的一个法向量， 所以cos 〈n ，B 1F ―→〉＝1－3－15×5＝－35，所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35.5．(多选)(2019·浙江高考改编)设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点)．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P -AC -B 的平面角为 γ，则α，β，γ大小关系正确的是( )A ．α＞βB ．α＝βC ．γ＞βD.γ≥β解析：选AC 过B 作直线l ∥AC ，过P 作底面ABC 的垂线PD ，D 为垂足，过D 作DF ⊥AB 于F ，作DE ⊥l 于E ，连接AD ，BD ，PF ，PE .由题意可知，二面角P -AC -B 的大小与二面角P -AB -C 的大小相等， 结合空间角的定义知∠PBE ＝α，∠PBD ＝β，∠PFD ＝γ， 在Rt △PEB 与Rt △PDB 中，由PE ＞PD 得sin α＞sin β， ∴α＞β(α，β均为锐角)．故A 正确，B 错误；在Rt △PDB 与Rt △PDF 中，由PB ＞PF 得sin β＜sin γ，∴γ＞β(β，γ均为锐角)．故C 正确；由于不存在PB ＝PF 的可能，故D 错误． 6.(多选)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AA 1＝2，∠ACB ＝90°，D ，E ，F 分别为AC ，AA 1，AB 的中点．则下列结论正确的是( )A ．AC 1与EF 相交B ．B 1C 1∥平面DEFC ．EF 与AC 1所成的角为90°D ．点B 1到平面DEF 的距离为322解析：选BCD 对选项A ，由图知AC 1⊂平面ACC 1A 1，EF ∩平面ACC 1A 1＝E ，且E ∉AC 1.由异面直线的定义可知AC 1与EF 异面，故A 错误；对于选项B ，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1C 1∥BC .∵D ，F 分别是AC ，AB 的中点， ∴FD ∥BC ，∴B 1C 1∥FD .又∵B 1C 1⊄平面DEF ，DF ⊂平面DEF ， ∴B 1C 1∥平面DEF .故B 正确；对于选项C ，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,0)，E (2,0,1)，F (1,1,0)． ∴EF ―→＝(－1,1，－1)，AC 1―→＝(－2,0,2)． ∵EF ―→·AC 1―→＝2＋0－2＝0，∴EF ―→⊥AC 1―→， ∵EF 与AC 1所成的角为90°.故C 正确；对于选项D ，设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DEF 的一个法向量． ∵DE ―→＝(1,0,1)，DF ―→＝(0,1,0)，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥DE ―→，n ⊥DF ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DF ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，y ＝0.取x ＝1，则z ＝－1，∴n ＝(1,0，－1)， 设点B 1到平面DEF 的距离为d . 又∵DB 1―→＝(－1,2,2)，∴d ＝|DB 1―→·n ||n |＝|－1＋0－2|2＝322，∴点B 1到平面DEF 的距离为322，故D 正确．故选B 、C 、D.7．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B -AA 1-C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为________．解析：由题意可知，∠BAC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，由于侧面和底面垂直，由面面垂直的性质定理可得，B 到AC 的距离为3，C 到AB 的距离为23，所以在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，BC ＝23，∠ABC ＝90°，则AB 1―→·BC 1―→＝(BB 1―→－BA ―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝4， |AB 1―→|＝22，|BC 1―→|＝4，cos AB 1―→，BC 1―→＝AB 1―→·BC 1―→|AB 1―→|·|BC 1―→|＝422·4＝24，sin 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝1－⎝⎛⎭⎫242＝144.故tanAB 1―→，BC 1―→＝7.答案：78.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________.解析：如图，以O 为坐标原点，以OA ，OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系．设AE ＝a ，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，F (－1,0,3)，E (1,0，a )，∴OF ―→＝(－1,0,3)，DB ―→＝(0,23，0)，EB ―→＝(－1，3，－a )．设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧23y ＝0，－x ＋3y －az ＝0，则y ＝0，令z ＝1，得x ＝－a ， ∴n ＝(－a,0,1)，∴cos 〈n ，OF ―→〉＝n ·OF ―→|n ||OF ―→|＝a ＋3a 2＋1×10.∵直线OF 与平面BED 所成角的大小为45°， ∴|a ＋3|a 2＋1×10＝22，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴AE ＝2.答案：29.如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，且AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O ，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝2，AB ＝22，E ，F 分别是AB ，AP 的中点，则二面角F -OE -A 的余弦值为________．解析：以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，由题知，OA ＝OB ＝2，则A (0，－2,0)，B (2,0,0)，P (0,0,2)，E (1，－1,0)，F (0，－1,1)，OE ―→＝(1，－1,0)，OF ―→＝(0，－1,1)，设平面OEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·OE ―→＝0，m ·OF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得m ＝(1,1,1)．易知平面OAE 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝33.由图知二面角F -OE -A 为锐角， 所以二面角F -OE -A 的余弦值为33. 答案：3310.(一题两空)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．(1)则直线PB 与平面POC 所成角的余弦值为________； (2)则B 点到平面PCD 的距离为________． 解析：(1)在△P AD 中，P A ＝PD ，O 为AD 的中点， ∴PO ⊥AD .又∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD .在△P AD 中，P A ⊥PD ，P A ＝PD ＝2，∴AD ＝2. 在直角梯形ABCD 中，O 为AD 的中点，∴OA ＝BC ＝1，∴OC ⊥AD .以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P (0,0,1)，A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，∴PB ―→＝(1，－1，－1)．∵OA ⊥OP ，OA ⊥OC ，OP ∩OC ＝O ，∴OA ⊥平面POC . ∴OA ―→＝(0，－1,0)为平面POC 的法向量， cos 〈PB ―→，OA ―→〉＝PB ―→·OA ―→|PB ―→||OA ―→|＝33，∴PB 与平面POC 所成角的余弦值为63. (2)∵PB ―→＝(1，－1，－1)，设平面PCD 的法向量为u ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CP ―→＝－x ＋z ＝0，u ·PD ―→＝y －z ＝0.取z ＝1，得u ＝(1,1,1)．则B 点到平面PCD 的距离d ＝|PB ―→·u ||u |＝33.答案：(1)63 (2)3311．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，求二面角B -EC -C 1的正弦值．解：(1)证明：由已知得，B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1， 故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1， 所以BE ⊥平面EB 1C 1.(2)由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以∠AEB ＝45°，故AE ＝AB ，AA 1＝2AB .以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，|DA ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，E (1,0,1)，CB ―→＝(1,0,0)，CE ―→＝(1，－1,1)，CC 1＝(0,0,2)． 设平面EBC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧CB ―→·n ＝0，CE ―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 1－y 1＋z 1＝0，所以可取n ＝(0，－1，－1)．设平面ECC 1的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎨⎧CC 1·m ＝0，CE ―→·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2z 2＝0，x 2－y 2＋z 2＝0， 所以可取m ＝(1,1,0)． 于是cos n ，m＝n ·m |n ||m |＝－12. 所以二面角B -EC -C 1的正弦值为32. 12．[创新题型]如图，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，且PD ⊥AB . (1)从下列两个条件中任选一个条件证明：AB ⊥平面P AD . ①O 是AD 的中点，且BO ＝CO ；②AC ＝BD .(2)在(1)条件下，若AD ＝2AB ＝4，P A ＝PD ，点M 在侧棱PD 上，且PD ＝3MD ，二面角P -BC -D 的大小为π4，求直线BP 与平面MAC 所成角的正弦值．解：(1)证明：选择条件②∵四边形ABCD 为平行四边形，且AC ＝BD ， ∴四边形ABCD 为矩形，AB ⊥AD .又∵AB ⊥PD ，且AD ∩PD ＝D ，故AB ⊥平面P AD . 选择条件①在平行四边形ABCD 中，设N 是BC 的中点，连接ON ，如图，因为O 是AD 的中点，所以AB ∥ON .又BO ＝CO ，所以ON ⊥BC .所以AB ⊥BC ，又在平行四边形ABCD 中，BC ∥AD ，所以AB ⊥AD .又AB ⊥PD ，且PD ∩AD ＝D ，AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，故AB ⊥平面P AD . (2)由(1)知AB ⊥平面P AD ，又AB ⊂平面ABCD ， 于是平面P AD ⊥平面ABCD ，连接PO ，PN ，由P A ＝PD ，可得PO ⊥AD ，则PO ⊥BC ，又ON ⊥BC ，PO ∩NO ＝O ，所以BC ⊥平面PNO ，所以PN ⊥BC ，故二面角P -BC -D 的平面角为∠PNO ，则∠PNO ＝π4.由此得PO ＝AB ＝2.以O 为坐标原点，ON ，OD ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，－2,0)，B (2，－2,0)，C (2,2，0)，P (0,0,2)，由PD ＝3MD 可得M ⎝⎛⎭⎫0，43，23， 所以AC ―→＝(2,4,0)，AM ―→＝⎝⎛⎭⎫0，103，23，BP ―→＝(－2,2,2)． 设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·AM ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4y ＝0，10y ＋2z ＝0，令y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，z ＝－5，所以n ＝(－2,1，－5)为平面MAC 的一个法向量． 设直线BP 与平面MAC 所成的角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BP ―→·n |BP―→|·|n |＝|4＋2－10|23·30＝1015， 故直线BP 与平面MAC 所成角的正弦值为1015. B 级——提能综合练13．(2018·全国卷Ⅱ改编)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1夹角的余弦值为( )A.15 B ．56C.55D.22解析：选C 法一：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，所以AD 1―→＝(－1,0，3)，DB 1―→＝(1,1，3)，设异面直线AD 1与DB 1的夹角为α，则cos α＝cos 〈AD 1―→，DB 1―→〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋31＋3·1＋1＋3＝55.法二：如图，连接A 1D 交AD 1于点E .取A 1B 1中点F ，连接EF ，则EF 綊12B 1D ，连接D 1F ，在△D 1FE 中，∠D 1EF 为异面直线AD 1与DB 1的夹角．由已知EF ＝12DB 1＝1212＋12＋(3)2＝52，D 1E ＝12AD 1＝1，D 1F ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，所以cos ∠D 1EF ＝EF 2＋ED 21－D 1F22EF ·ED 1＝55.14．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析：如图，过E 作EE 1⊥B 1C 1于E 1，连接D 1E 1，过P 作PQ ⊥D 1E 1于Q ，在同一个平面EE 1D 1内，EE 1⊥E 1D 1，PQ ⊥D 1E 1，所以PQ ∥EE 1，又因为CC 1∥EE 1，所以CC 1∥PQ ，因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以点P 到CC 1的距离就是QC 1的长度，所以当且仅当C 1Q ⊥D 1E 1时，所求的距离最小值为C 1Q ＝C 1D 1·C 1E 1D 1E 1＝2×15＝255.答案：25515．已知在四棱锥P -ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，AB ∥CD ，AB ＝2，DC ＝4，E 为PC 的中点，PD ＝PC ，BC＝2 2.(1)求证：BE ∥平面P AD ；(2)若PB 与平面ABCD 所成角为45°，点P 在平面ABCD 上的射影为O ，问：BC 上是否存在一点F ，使平面POF 与平面P AB 所成的角为60°？若存在，试求点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取PD 的中点H ，连接AH ，EH ，则EH ∥CD ，EH ＝12CD ， 又AB ∥CD ，AB ＝12CD ＝2， ∴EH ∥AB ，且EH ＝AB ，∴四边形ABEH 为平行四边形，故BE ∥HA .又BE ⊄平面P AD ，HA ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD .(2)存在，点F 为BC 的中点．理由：∵平面PDC ⊥平面ABCD ，PD ＝PC ，作PO ⊥DC ，交DC 于点O ，连接OB ，可知O 为点P 在平面ABCD 上的射影，则∠PBO ＝45°.由题可知OB ，OC ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，由题知OC ＝2，BC ＝22，∴OB ＝2，由∠PBO ＝45°，可知OP ＝OB ＝2，∴P (0,0,2)，A (2，－2,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)．设F (x ，y ，z )，BF ―→＝λBC ―→，则(x －2，y ，z )＝λ(－2,2,0)，解得x ＝2－2λ，y ＝2λ，z ＝0，可知F (2－2λ，2λ，0)，设平面P AB 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，∵P A ―→＝(2，－2，－2)，AB ―→＝(0,2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ·P A ―→＝0，m ·AB ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－2y 1－2z 1＝0，2y 1＝0， 令z 1＝1，得m ＝(1,0,1)．设平面POF 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，∵OP ―→＝(0,0,2)，OF ―→＝(2－2λ，2λ，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·OP ―→＝0，n ·OF ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2z 2＝0，(2－2λ)x 2＋2λy 2＝0， 令y 2＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫λλ－1，1，0.∴cos 60°＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪λλ－11＋1·⎝⎛⎭⎫λλ－12＋1， 解得λ＝12， 可知当F 为BC 的中点时，两平面所成的角为60°.C 级——拔高创新练16.已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，E 为CD 的中点，PB ⊥AE .(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)若PB ＝PD ，PC 与平面ABCD 所成的角为π4，试问“在侧面PCD 内是否存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD ？”若存在，求出点N 到平面ABCD 的距离；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由四边形ABCD 是直角梯形，AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，AB ⊥BC ，可得DC ＝2，∠BCD ＝π3，从而△BCD 是等边三角形，BD ＝2，BD 平分∠ADC . ∵E 为CD 的中点，∴DE ＝AD ＝1，∴BD ⊥AE ，又∵PB ⊥AE ，PB ∩BD ＝B ，∴AE ⊥平面PBD .又∵AE ⊂平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD .(2)在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ，连接OC ，又∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，∴PO ⊥平面ABCD .∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，则∠PCO ＝π4， ∴由题意得OP ＝OC ＝3，∵PB ＝PD ，PO ⊥BD ，∴O 为BD 的中点，∴OC ⊥BD . 以OB ，OC ，OP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，假设在侧面PCD 内存在点N ，使得BN ⊥平面PCD 成立，设PN ―→＝λPD ―→＋μPC ―→(λ，μ≥0，λ＋μ≤1)，由题意得N (－λ，3μ，－3(λ＋μ－1))，BN ―→＝(－λ－1，3μ，－3(λ＋μ－1))，PC ―→＝(0，3，－3)，PD ―→＝(－1,0，－3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ BN ―→·PC ―→＝0，BN ―→·PD ―→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3μ＋3(λ＋μ－1)＝0，λ＋1＋3(λ＋μ－1)＝0， 解得λ＝15，μ＝25，满足题意，∴N 点到平面ABCD 的距离为－3(λ＋μ－1)＝235.。