2
对于绕 z 轴旋转 角，(44)式成为
若是一无穷小角度，则可将上式展开并保留 到一阶项：
3
将此式与(43)式的一阶展开 比较得到
此式当然与我们直接由 L = r p 求得的结 果相一致。
4
2、多分量态函数情况
多分量态函数的旋转变换，有一矩阵 D 作用于内禀 自由度；即其形成态函数各分量的线性组合。
5
因此，(43)式幺正算符的普遍形式为
(46)
它的两个因子相互对易，因为第一个作用于坐 标x, 而第二个作用于列矢量的分量. 幺正矩阵D 可以写作
(47)
6
其中，S = (Sx, Sy, Sz)为厄米矩阵.
将(47)代入(46)并与(43)比较，我们看到角动量 算符的形式为
J=L+S
(48)
这里 L = r p ，[ L , S ]=0 ( = x, y, z).
算符 L 和 S 分别称为角动量的轨道部分和自旋 部分.
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§3.4 角动量算符的明确形式
如上所述，相应于绕一轴旋转角的幺正算符
可以表示为
(43)
其中， 表示沿转轴的单位矢量。
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1、单分量态函数情况
令 为一在坐标表象中的单分量态函数，则 经一旋转变换后为
(44)
其中，R是(43)形式的算符，R-1是33的坐标旋 转矩阵的逆矩阵。譬如对于直角坐标的三个轴：