2015高三数学寒假作业（二）
一、选择题，每小题只有一项是正确的。

1.设集合{}{}
212,log 2A x x B x x =-≤=<，则A B ⋃=
A. []1,3-
B. [)1,4-
C. (]0,3
D. (),4-∞ 2.已知函数sin ,0,()(1),0,
x x f x f x x π≤⎧=⎨->⎩那么)32(f 的值为 A. 21- B. 23- C. 2
1 D. 23 3.已知函数f (x)＝267,0,100,,
x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩ 则 f (0)＋f (-1)＝ （ ） (A) 9 (B)
7110 (C) 3 (D) 1110 4.已知函数()22x f x =-，则函数|()|y f x =的图像可能是（ ）
5.若互不相等的实数c b a ,,成等差数列，b a c ,,成等比数列，且103=++c b a ，则=a （ ）
A. 4
B. 2
C. -2
D. -4
6.下列各式中值为的是（ ）
A ． sin45°cos15°+cos45°sin15°
B ． sin45°cos15°﹣cos45°sin15°
C ． cos75°cos30°+sin75°sin30°
D ．
7.设实数x ，y 满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,00820104y x y x y x ,若目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则23a b +的最小值为( )
8.已知函数()f x 满足1()()f x f x =, 当[]1,3x ∈时,()ln f x x =,若在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内,曲线()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是 ( ) A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.ln 31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣
⎭ 9.圆心在直线y ＝x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2
二、填空题
10.已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是__________ .
11.理：已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M .
12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1533a a a +=，1014a =，则12S =
13.抛物线24
1x y -=上的动点M 到两定点（0，-1）、（1，-3）的距离之和的最小值为 三、计算题
14.（本小题满分13分） 已知函数)1
2(
log )(21--=x ax x f (a 为常数). (1)若常数2a <且0a ≠,求()f x 的定义域;
(2)若()f x 在区间(2,4)上是减函数,求a 的取值范围.
15.（本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝1AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点．
（1）求证：DE ∥平面ABC ；
（2）求证：F B 1⊥平面AEF ；
（3）求二面角F AE B --1的余弦值．
16.（本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴端点到焦点的距离为2。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点A,B 是椭圆C 上的任意两点， O 是坐标原点，且OA ⊥OB ①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值；
②任取以椭圆C 的长轴为直径的圆上一点P ，求P ∆AB 面积的最大值
高三数学寒假作业（二）参考答案
一、选择题
1~5 ABCCD 6~9 CACC
二、填空题
10.1a ≤
11.)2,0(；
12.84
13.4
三、计算题
14.
(1)由201ax x ->-,当02a <<时,解得1x <或2x a
>, 当0a <时,解得21x a
<<. 故当02a <<时,()f x 的定义域为{|x 1x <或2x a
>}
当0a <时,()f x 的定义域为{|x 21x a <<}. ………… 6分 (2)令21ax u x -=-,因为12
()log f x u =为减函数,故要使()f x 在(2,4)上是减函数, 2211
ax a u a x x --==+--在(2,4)上为增且为正. 故有min 201222(2)021
a a a u u -<⎧⎪⇒≤<⎨->=≥⎪⎩-. 故[1,2)a ∈. …………13分
15.
如图建立空间直角坐标系O —xyz ，令AB ＝AA 1＝4，
则A （0，0，0），E （0，4，2），F （2，2，0），B （4，0，0），
B 1（4，0，4），D （2，0，2）， …………（2分）
（I ）=→DE （2-，4，0），面ABC 的法向量为=→1OA （0，0，4），
∵→DE 01=→
⋅OA ，⊄DE 平面ABC ，
∴DE ∥平面ABC ． …………（4分） （II ）)222()422(1--=→
--=→，，，，，
EF F B 0)2()4()2(22)2(1=--+-+-=→→×××·EF F B 00)4(222)2(1=-++-=→→×××·AF F B …………（6分）
∴AF F B AF F B ⊥∴，⊥11→→
∵AEF F B F FE AF 平面⊥∴，1= …………（8分）
（III ） 平面AEF 的法向量为)422(1--=→，，F B ，设平面 B 1AE 的法向量为
n x y z n AE n B A →=→→=→→=⎧⎨⎪⎩
⎪()，，，∴··001 即⎩⎨⎧=+=+002z x z y …………（10分） 令x ＝2，则212(12-=→=-=，，∴，，n y z ∴662496|
|||cos 111==→→→→=>→→<×··，F B n F B n F B n
∴二面角B1—AE—F………（12分）16.。