检测技术习题及参考答案第三章 检测装置的基本特性3.1（教材18.8） 由测量方程：3x ＋y ＝2.9，x －2y ＝0.9，2x －3y ＝1.9，试用最小二乘法求x 、y 的值。

解：根据测量方程可写出以下几个矩阵：实测值矩阵 2.90.91.9⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，系数矩阵311223⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，估计值矩阵ˆx y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 令313121451212351423⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦TC A A 145171514-===-T C A A ， 1451514171⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-1C 2.931213.40.9123 4.61.9⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦TA L 14513.4164.60.96311ˆ514 4.6 2.60.0152171171x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-1T X C A L 即x ＝0.963，y=0.01523.2（教材18.9） 某电路的电压数值方程为U ＝I 1R 1＋I 2R 2，当电流I 1＝2A 、I 2＝1A 时，测得电压U ＝50V ；当电流I 1＝3A 、I 2＝2A 时，测得电压U ＝80V ；当电流I 1＝4A 、I 2＝3A 时，测得电压U ＝120V 。

试用最小二乘法求两只电阻R 1、R 2的测量值。

解：测量方程为121212250328043120R R R R R R +=⎫⎪+=⎬⎪+=⎭根据测量方程可写出以下几个矩阵：实测值矩阵5080120⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，系数矩阵213243⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，估计值矩阵12ˆR R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 令212342920321232014433⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦T C A A292062014===TC A A ， 1420120296-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦-1C 5023482080123570120⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦T A L 1214208208013.3311ˆ202957013021.6766R R -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-1T X C A L 即R 1＝13.33Ω，R 2＝21.67Ω3.3（教材18.10） 通过某检测装置测得的一组输入输出数据如下表所示。

试用最小二01y b b x =+ 可用代数法和矩阵法两种方法进行回归分析。

（1）用代数法进行回归分析115.970.66723.933xy xxL b L ===， 01 2.90.667 3.9330.277b y b x =-=-⨯=回归方程为0.2770.667y x =+ （2）用矩阵法进行回归分析根据测量数据可写出以下两个矩阵：实测值矩阵 1.11.52.63.24.05.0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y ，结构矩阵10.81 2.513.314.515.716.8⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦X 正规方程系数矩阵10.81 2.51.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.013.3623.60.8 2.5 3.34.55.76.81 4.523.6116.761 5.716.8T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A X X 623.6143.623.6116.76===T A X X相关矩阵116.7623.6123.66143.6-⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦-1C A 正规方程常数项矩阵 1.11.51.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 2.617.40.8 2.5 3.3 4.5 5.7 6.8 3.284.414.05.0T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B X Y 回归系数矩阵01116.7623.617.40.277123.6684.410.667143.6b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦b CB 即回归系数b 0＝0.277，b 1＝0.667 回归方程为0.2770.667y x =+可见用代数法和矩阵法两种方法进行回归分析所得回归方程是相同的。

（3）求灵敏度取回归方程的斜率作为灵敏度，即S ＝0.667 （4）求线性度利用回归方程计算各点的估计值ˆi y和误差值ˆi i i y y y ∆=-，填入下表。

取误差的最大绝对值maxmax 0.44ii y y ∆=∆=最小二乘线性度00000.4410011.35.0 1.1L γ=±⨯=±-3.4（教材18.11） 有一只压力传感器的标定数据如下表所示，试用最小二乘法求其线01y b b x =+可用代数法和矩阵法两种方法进行回归分析。

（1）用代数法进行回归分析1 1.993750.398755xy xxL b L ===， 010.40120.39875 1.00.00245b y b x =-=-⨯= 回归方程为0.002450.39875y x =+ （2）用矩阵法进行回归分析根据测量数据可写出以下两个矩阵：实测值矩阵0.00200.00300.20150.20200.40050.40200.60000.60100.79950.8005Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，结构矩阵101010.510.51 1.01 1.01 1.51 1.51 2.01 2.0X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦正规方程系数矩阵101010.510.51.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.01 1.010100.00.00.50.5 1.0 1.0 1.5 1.5 2.0 2.01 1.010151 1.51 1.51 2.012.0T⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A X X 1010501015===TA X X相关矩阵 151********-⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦-1C A 正规方程常数项矩阵0.00200.00300.20150.20201.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.00.4005 4.01200.00.00.50.5 1.0 1.0 1.5 1.5 2.0 2.00.4020 6.005750.60000.60100.79950.8005T⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B X Y 回归系数矩阵 011510 4.01200.0024511010 6.005750.3987550b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦b CB 即回归系数 b 0＝0.00245，b 1＝0.39875 回归方程为 0.002450.39875y x =+ （3）求灵敏度取回归方程的斜率作为灵敏度，即S ＝0.39875V ／103Pa （4）求线性度利用回归方程计算各点的估计值ˆi y ，正反行程平均值i y 和误差值ˆi i i y y y ∆=-，填入下表。

取误差的最大绝对值 maxmax 0.000075i i y y ∆=∆=最小二乘线性度 00000.0000751000.003752.00.0L γ=±⨯=±-3.5（教材2.3） 利用压力传感器所得的测试数据如下表所示，计算其非线性误差、迟计算各点正反行程输出值的平均值i y ，填入下表。

16.500137.50.120K -==-端基直线的方程为y=137.5x 利用端基直线方程计算各点的估计值ˆi y，计算误差值ˆi i i y y y ∆=-，填入下表。

取误差的最大绝对值maxmax 2.11ii y y ∆=∆=端基线性度 00002.1110012.816.500.00L γ=±⨯=±-（2）计算最小二乘线性度用代数法进行回归分析。

设回归方程为01y b b x =+1 5.1312164.46150.0312xy xxL b L ===， 017.5525164.46150.06 2.3152b y b x =-=-⨯=-回归方程为 2.3152164.4615y x =-+利用回归方程计算各点的估计值ˆi y，计算误差值ˆi i i y y y ∆=-，填入下表。

取误差的最大绝对值 maxmax 2.315i i y y ∆=∆=最小二乘线性度 00002.31510014.0316.500.00L γ=±⨯=±-（3）计算迟滞计算各点正行程输出值的平均值i y 正和反行程输出值的平均值i y 反，并求它们的差值i i i H y y ∆=-正反，将数据填入下表。

取正、反行程输出值平均值的最大差值max max 0.094i H H ∆=∆= 迟滞 00000.0941000.5716.500.00H γ=⨯=-（4）计算重复性误差计算各点正行程输出值的不重复误差i R ∆正和反行程输出值的不重复误差i R ∆反，将数据填取正、反行程输出值的不重复误差的最大值max max 0.08i R R ∆=∆= 重复性误差00000.081000.4816.500.00R γ=±⨯=±-3.6（教材2.7） 用某一阶检测装置测量频率f ＝100Hz 的正弦信号，若要求幅值误差限制在±5%以内，则该检测装置的时间常数τ应取多少？在选定时间常数后，用该装置测量频率为50Hz 的正弦信号，这时的幅值误差和相位误差各是多少？解：（1）一阶检测装置的幅频特性为()Y H j X ω==相对动态误差为00000010011001100u uY X Y X X ε⎡⎤-⎢=⨯=-⨯=⨯⎢⎣若要求其幅值误差限制在±5%以内，则有150.05≤=即0.3287ωτ≤=0.32870.32870.32870.00052322100sfτωππ≤===⨯（2）取定τ＝0.000523s，幅值误差为00000000110011001100 1.32ε⎡⎤⎡⎤⎢⎢=-⨯=-⨯⎢⎢⎣⎣⎡⎤⎢=-⨯=⎢⎣相位误差为()()()arctan arctan2arctan2500.0005239.33fφωτπτπ=-=-=-⨯⨯=-︒3.7（教材2.8）某温度传感器为时间常数τ＝3s的一阶系统，当传感器受突变温度作用后，试求传感器指示出温差的三分之一和二分之一所需的时间。