华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
一、简单优化问题
* p 利润U(p)达到最大值的最优价格 满足：
dU dI dC a bq 2bp 0 dp dp dp
得到：
q a p 2 2b
*
最优价格一部分是成本的一半，另一部分与“绝对需求” 成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比。
一、简单优化问题
3、模型求解及其结果分析
需求函数是售价的减函数，通常是根据实际销售
情况定出。现在，假设它是线性函数，即
x f ( p) a bp, a, b 0
其中， a--代表这种产品免费供应（p=0）时的社会需求
量，也称为绝对需求量；
幅度。它反映市场需求对价格的敏感程度。
dx b 表示价格上涨一个单位时销售量下降的 dp
（3） 由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30 元，是否应改变生产计划？
二、模型分析 生产计划就是每天生产多少A1和多少A2，获利润最大。或 者是每天用多少桶牛奶生产A1和用多少桶牛奶生产A2，获 利润最大。
当技术参数、价值系数为常数时，此为线性规划模型。
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二、数学规划模型
四、模型的建立
目标：设每天收入z元。则 z 24 3x1 16 4 x2
约束条件：
原料限制
劳动时间限制
x1 x2 50
12x1 8x2 480
设备能力限制
3x1 100
决策变量的非负性 x1 , x2 0
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二、数学规划模型
综上可得： max z 72x 8 x 480 1 2 s.t 3x1 100 x1 , x2 0
max z cT x Ax b s.t. x LB (1)
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二、数学规划模型
三、模型的假设 1、每天用
x1 桶牛奶生产A1，x2 桶牛奶生产A2；x1 , x2
可以是任意的实数。
2、劳动时间、设备能力、利润均为与产量无关常数。
即技术参数、价值系数为常数
3、生产的产品全能售出。
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二、数学规划模型
附加问题的讨论： 附加问题（1）和（2）是要不要扩大生产？这取决于
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二、数学规划模型
案例2：奶制品的生产计划
一、问题的提出
一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，参数见表：
A1
原料奶(桶) 劳动时间（h） 设备甲能力（kg） 设备乙能力(kg) 1 12 3 0
A2
1 8 0 4
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二、数学规划模型
五、模型求解及结果分析
[X,z]=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 用于解：
min f'*x subject to: A*x <= b Aeq*x = beq. LB <= X <= UB. f=[-72;-64];A=[1 1;12 8;3 0];b=[50;480;100]; [x,z]=linprog(f,A,b,[],[],[0;0],[]) x = 20.0000, 30.0000; z =-3.3600e+003 即按每天用20桶牛奶生产A1，用30桶牛奶生产A2，获最大 收益：z=3360元。
最优化模型概述
最大值或最小值 数学规划：线性规划（整数规划、0-1规划、目 标规划等），非线性规划 动态规划
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一、简单优化问题
案例1：产销平衡下的某种产品的最优价格,即使工厂利润最
大的价格。
1、模型假设 （1）售量为x，并与产量相等； （2）每件产品售价为p。在竞争市场的环境中售量x依赖于 价格p, 即 x f ( p) ，f 称为需求函数； （3）每件产品成本为q，产量x与成本q无关。
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要
点
爱因斯坦的一句名言：
想象力比知识更重要！因为 知识是有限的，而想象力包括世 界的一切，是知识的源泉。
最优优化模型
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资源
50 480 100 inf
根据市场需求，生产的A1,A2产品全部能售出，且每千克A1 产品获利24元，每千克A2产品获利16元。试为该厂订一个 生产计划，使每天获利最大。并进一步讨论以下问题：
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二、数学规划模型
（1） 若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资？若 投资，每天最多购买多少桶牛奶？ （2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工 人的工资最多是每小时几元？
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一、简单优化问题
a q 2 最大利润： U ( p ) b( ) 2b 2
*
边界收入：
dI a 2bp* bq dp dC bq dp
边界支出：
当边界支出等于边界收入时利润最大---经济学著名定理！
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一、简单优化问题
2、模型建立
总收入：I(p)=px
总支出：C(p)=qx 利 润：U= I(p)- C(p)= (p- q)x=(p-q)f(p) 数学模型为：
max U(p)
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