考试中心填写一、简单计算复习重点1、已知零均值随机变量X、Y的方差匚X2、匚Y2以及相关系数为r的具体值；它们服从二维联合正态分布，如何写出f XY(x, y)的具体表达式？2、均值为零、方差为匚2窄带正态随机过程X (t)二A(t)cos［「0t亠处(t)］的同相分量代⑴=A(t)cos［①(t)］的概率密度分布函数为f^(a c；t) = ?，包络A(t)的概率密度分布函数f A(a;t)二？，包络平方Z(t)=A2(t)的概率密度分布函数f z(z;t)二？，相位：•：」(t)的概率密度分布函数为f：：( ：:;t) = ?。
3、第7章PPT中关于泊松分布的例子，推广到自上次发车后若乘客数达到n则立刻发下一趟车，否则要等到T!分钟才发车，平均每分钟到达的乘客数为，的情况。
等到n个乘客所需的时间S n(单位：分钟)的概率密度分布函数为f s n(t) = ?，等到T !分钟才发车的概率P = ?平均发车间隔T =？4、设X(t)为马尔可夫过程，t s < t r ::: tn，条件概率密度f x(X n,t n | X s,t s)与f x (人,t「| X s,t s)、f x(X n,t n |X r,t r)的关系。
5、若某随机过程X(t)的功率谱的负频部分为零，则该随机过程必为复数随机过程，X(t)与其实部随机过程X R(t)的关系。
6、如果给出平稳正态随机过程X(t)的相关函数为R X(.)(零均值、相关函数绝对可积)的具体1 T表达式，对于任意样本函数x(t)，必有何-齐yX(t)［x(t)-x(t • .)］dt与RxC)的关系？7、对平稳离散时间白色噪声序列X(1),X(2),…，X(n)按从小到大的顺序排序，得到新的非平稳有色噪声序列Y(1),Y(2),…,Y(n)，若序列X的一维概率分布函数为F X (x)，则随机变量Y(1)的一维概率分布函数为F Y(y,1)= ?。
8、功率谱为1的白色噪声通过传递函数为H (j「)=1/ (1 • j )的线性系统，如何求输出随机过程X (t)的功率谱G X CJ 、相关函数R x (•)、一维概率密度分布函数f X (X ；t) ?9、乘积过程Z(t) =X(t)Y(t)的相关函数R z ()与相互独立随机过程 X(t)与Y(t)的均值m x 、 m y 、相关函数R X (.)、R Y ( )的关系？ 进一步了解：1、若给出零均值二维联合正态分布随机变量X 、Y 的联合概率密度分布函数差、Y 的方差、X 、Y 的相关系数以及 A ？2、零均值窄带正态随机过程 X(t) = A(t)cos 「o t ，」(t)］， E ［X 2(t)］ -；「2，其同相 分量A ；(t) = A(t) cos ［事(t)］与正交分量A s (t) = A(t)sin ［事⑴］的联合概率密度分布函数f A cA s(a c ,a s ;t,t^？ X(t)与其希尔伯特变换 Y(t) = f(t)的联合概率密度分布函数f XY (x, y;t,t) = ？， A(t)与"(t)的联合概率密度分布函数f A .：』(a, ：:;t,t)二？；设s(t) =Scos ［「0t T ］为确定性信号，Z(t) =X(t) s(t)，U (t)为Z(t)的幅度过程，则其概率密度分布函数为f u (U ；t) 士 ？3、设马尔可夫链的状态集为 {a ,,a 2,..., a N }， P q (s, n)二 P{X(n)二 a 」| X(s) = aj 与 p ik (s, r) = P{X(r) =a k 〔X (s) = aj 、p j (r, n) = P{X( n)=引 |X(r)二去}之间的关系?4、某离散时间随机过程 X(n)二Acos(「0n ，」)，其中池、A 为常数，「为［0,2 ］区间上均匀分 布的随机变量，如何计算自相关函数R X (m) =E ［X(n m)X(n)］ ？5、均值为m x 、相关函数为R X ()的各态经历随机过程的任意样本函数x(t)的特性:1 T何:亓.」x (t )x (t -)]x (t )dt 二？6、对平稳离散时间白色噪声序列 X(1),X(2),..., X(n)按从小到大的顺序排序，得到新的非平稳有色噪声序列 Y(1),Y(2),…，Y(n)，若序列X 的一维概率分布函数为 F X (x)，随机变量Y(2) 的一维概率分布函数为 F Y (y,2) =？7、若给出平稳随机过程 X(t)的相关函数为R x ()(不隐含周期性)，X(t)的总功率与R x ()关 8、正态过程X(t)的功率谱密度为G X (•)=—612，其一维概率密度分布函数 f X (x ；t)?尬+4二、基本概念方面f xY (x, y)2 2x xyy亠 .exp{ -()}中 a 、b 、a b cc 的具体数值，如何求随机变量X 的方Tm2TT2Jx(t) -m x ] dt 二？系？复习重点1、关于实平稳随机过程的相关函数若给出若干函数的具体表达式，如何根据相关函数的性质(偶函数、|R x C )|的最大值为R X (0)、不--- 2隐含周期性时，R x(：J二m x非负等)判断哪些函数可以作为相关函数？2、关于正态随机过程其任意的N维联合概率密度分布函数可以由其N维均值矢量以及N维协方差矩阵唯一确定吗？严格平稳与宽平稳等价吗？对于零均值过程，在任意两个不同时刻正交、不相关、相互独立三者等价吗？若该过程是窄带的，则该窄带过程及其同相分量、正交分量三者具有相同的一维概率密度分布函数吗？正交分量与同相分量在同一时刻相互独立吗？如果该过程由某一随机过程通过线性系统所产生，则该输入过程必定为正态随机过程吗？平稳正态随机过程与确定性信号之和依然为正态随机过程，而且是平稳的吗？3、关于马尔可夫链设P为齐次马尔可夫链的单步状态转移矩阵，p为状态概率矢量，若该链为渐近平稳链，则P T V=V必定存在元素值满足0兰口兰1送P i =1的唯一解p，进一步，若该链为平稳链，则初始状态列阵必定为p T v = V的解P吗？齐次马尔可夫链在某个时刻的状态概率列阵仅仅取决于单步状态转移矩阵以及初始状态概率列阵吗？对于某个状态有限的马尔可夫链，如果其存在周期性，则一定不是渐近平稳的，此时P T p = P无合理解吗？对于状态有限的马尔可夫链，若从某个状态a i出发迟早返回该状态的概率小于1,则不管初始状态如何，经过有限次状态转移后，就再也不会到达状态a 了吗？进一步了解：1、关于正态过程相对于其他随机过程的特有性质一般随机过程都具有如下性质吗：经过线性变换后依然具有相同类型的多维联合概率密度分布；均值矢量与协方差矩阵可以唯一确定其多维联合概率密度分布；任意两个不同时刻互不相关与相互独立等价；在已知某些时刻取值情况下，其他不同时刻随机变量的多维条件概率密度分布函数依然为相同类型的联合概率密度分布；广义平稳与严格平稳等价；在已知某些时刻取值情况下，其他时随机变量的条件均值为这些取值的线性组合。
2、关于随机过程的特性严格平稳随机过程任意N个时刻的N维联合概率密度分布与这N个时刻的选取无关吗？若某零均值平稳随机过程X(t)不隐含周期性，相关函数为R X(.)，则必有Rx(：：) =0吗？白色噪声随机过程的功率谱在整个频率轴上为常数，其任意两个不同时刻对应的随机变量是相互独立的吗？正交、不相关、相互独立的概念：对随机过程x(t)，如果R x(t1,t2^o，贝y称x(t1)与x(t2)正交；如果K x(t i,t2)=0，则称x(t i)与x(t2)互不相关；如果f x(X i,X2；t i,t2)= f x(X i；t i)f x(X2；t2)，则称x(t i)与x (t2)相互独立。
如果随机过程依均方意义连续，则它的每一个样本函数都一定是普通连续的吗？随机过程可以是否看成是其全部样本函数的集合，或看成是所有时刻的随机变量的集合？对于相关函数为周期函数的随机过程的样本函数，如果已知其一个周期内的值，则有可能确知其任意时刻的取值？3、关于马尔可夫过程如果一个计数过程满足独立增量特性，则该过程一定是泊松过程吗？不管初始状态如何，经过无限次状态转移后，状态概率列一定趋于某个常矢量吗？如果有限状态的马尔可夫链如果只有一个常返态，则该常返态本身构成闭集吗？三、应用统计1:平稳正态随机过程的二阶单步最大似然预测问题学习资料(通过课程中心的课程网站下载)：随机过程的最优线性预测(将k12,k13推广到0.5,-0.2)若给出零均值平稳正态过程的三维协方差矩阵K3的具体表达式，根据x0、x1的样本现实x0、x1的预测X2的样本现实X2的估计值篦，如何得到最大似然预测(估计)公式的具体表达式？1、如何根据K3写出随机变量x0、x1、x2在(X0,X1,X2)处的联合概率密度彳號&氏必兀);2、如何根据K3得到K2并写出x0、X,在(x0,xj处的联合概率密度f x0x,(X0,X!)3、如何根据f x0x1x2(X0,X1, X2)、f x0x,(X0, X,)写出在X0=x0、X^x,情况下X2的条件概率密度分布函数f x2|x0x1(X2 |X0, X1)[注：一定是正态分布，整理成f x2iXoXi(x2|心><1)= ；1exp[- —昭Q3%)"的标准形式，2 0 1寸2兀▽2. 2心输入从零时刻开始，系统初始状态为 X (-1) = X (-2) = 0。
思考:确定匚2，再整理里面的指数项］; 4、如何根据函数f x 2ix 0x 1(X 2| X 1, X 2)的最大值处的自变量X 2的值为X 2的预测值X 2 = a i X i■ aoX o四、应用统计2:高斯白噪声背景下，含噪信号的最优匹配滤波 补充知识：考察如下的匹配滤波问题：Z(t)二y(t) V(t) 0乞t 乞T ，其中V(t)是功率谱密度为N o / 2的高斯白色噪声，试设计一个冲激响应函数为h(t)的线性时不变滤波器， 使得Z(t)通过该滤波器后，X(t)二 y(t) ： h(t)，V(t) ： h(t)二 y o (t) ・V °(t)，T 时刻的输出 y °(T)二 C 、噪声功率C 2 T h(t)二 一y(T -t)(o 红 汀)、'max J o y 2( )d.。
o y 2(.)d. N o o这里牵涉到一个数学方法：如何将高等数学中的参数最优化问题推广到函数最优化。
可以运用拉格朗日法则及函数极值方法求解，即假设任意滤波器n (t)二h(t) • ： . ：(t)，让Z(t)通过h i (t)，计算V o 2(T)、y o 仃)，若h(t)为最优滤波器，则:=o 应该为目标函数JaP)=E ［V o 2(T)］-Hy °(T)-C ］的极小值点，即方程 牡上｝=o的解h(t)为所求得的最优匹配滤波器。