《微积分初步》期末复习典型例题
一、 函数、 极限与连续
( 一) 考核要求
1.了解常量和变量的概念; 理解函数的概念; 了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、 函数值的方法; 掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.
2.了解极限概念, 会求简单极限.
3.了解函数连续的概念, 会判断函数的连续性, 并会求函数的间断点.
( 二) 典型例题
1．填空题
( 1) 函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．
答案: 2>x 且3≠x .
( 2) 函数2
4)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．
答案: ]2,1()1,2(-⋃--
( 3) 函数74)2(2++=+x x x f , 则=)(x f ． 答案: 3)(2+=x x f
( 4) 若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续, 则
=k ．
答案: 1=k
( 5) 函数x x x f 2)1(2-=-, 则=)(x f ．
答案: 1)(2-=x x f
( 6) 函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．
答案: 1-=x ( 7) =∞
→x x x 1sin lim ． 答案: 1
( 8) 若2sin 4sin lim 0=→kx x x , 则=k ．
答案: 2=k
2．单项选择题
( 1) 设函数2e e x x y +=-, 则该函数是( ) ．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
答案: B
( 2) 下列函数中为奇函数是( ) ．
A ．x x sin
B ．2e e x x +-
C ．)1ln(2x x ++
D ．
2x x + 答案: C
( 3) 函数)5ln(4+++=x x x y 的定义域为( ) ．
A ．5->x
B ．4-≠x
C ．5->x 且0≠x
D ．5->x 且4-≠x 答案: D
( 4) 设1)1(2-=+x x f , 则=)(x f ( )
A ．)1(+x x
B ．2x
C ．)2(-x x
D ．)1)(2(-+x x
答案: C
( 5) 当=k ( ) 时, 函数⎩⎨⎧=≠+=0,
0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
答案: D
( 6) 当=k ( ) 时, 函数⎩
⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f , 在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1-
答案: B
( 7) 函数2
33)(2+--=x x x x f 的间断点是( ) A ．2,1==x x B ．3=x
C ．3,2,1===x x x
D ．无间断点
答案: A
3．计算题 ( 1) 4
23lim 222-+-→x x x x ． 解: 4121lim )2)(2()1)(2(lim 4
23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ( 2) 3
29lim 223---→x x x x 解: 2
34613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x ( 3) 4
586lim 224+-+-→x x x x x 解: 3
212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ( 4) 计算极限x x x 11lim 0
--→． 解: )
11(11lim )11()11)(11(lim 11lim 000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21)11(1lim
0-=+--=→x x
( 5) 计算极限x x x 4sin 11lim 0
--→ 解: x x x 4sin 11lim 0--→)
11(4sin 11lim )11(4sin )11)(11(lim 00+---=+-+---=→→x x x x x x x x x 81)11(4sin 44lim )11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x
x x x
x x 二、 导数与微分
( 一) 考核要求
1.了解导数概念, 会求曲线的切线方程.
2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、 导数的四则运算法则、 复合函数求导法则), 会求简单的隐函数的导数.
3.了解微分的概念, 掌握求微分的方法.
4.了解高阶导数的概念, 掌握求显函数的二阶导数的方法. ( 二) 典型例题
1．填空题
( 1) 曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案: 21
( 2) 曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案: e x y +=
( 3) 已知x x x f 3)(3+=, 则)3(f '= ．。