压力，基于既定的本构关系，每个裂隙的饱和度和
渗透系数就可以得到，这里假定岩块本身的渗透可
以忽略。
由于在顶部和底部施加了均匀的毛管压力，绝
大多数裂隙都将参与裂隙网络的非饱和渗流。然而，
很多学者认为[4，5]，裂隙网络的非饱和渗流具有沟
槽特性。为了获得这种机理，有的学者认为[6]，对
于一个大型的裂隙介质模型，包含了活性的和惰性
图 2 单裂隙渗流试验装置 Fig.2 Testing device of seepage flow in single fracture
3 结果及讨论
计算中，在顶部和底部施加的边界压力为 －0.006，－1.16；－18.5，－91.46；－180.30，－517.5； －992.55，－1 595.0；－3 021.7，－5 702.0 Pa。以饱 和度 0.02 作为有限元计算的初始条件。裂隙空间中 的水流的最大饱和度可达 0.825，这个饱和度被认为 是裂隙的最大饱和度。
关系和 VG 毛管压力-饱和度的关系结合，可以较好地描述非饱和渗流的本构关系。 关键词 水文地质，岩体裂隙，非饱和渗流，本构关系，数值分析
分类号 P 641.135
文献标识码 A
文章编号 1000-6915(2003)12-2037-05
CONSTITUTIVE RELATIONS OF UNSATURATED SEEPAGE FLOW IN FRACTURED ROCK MASSES
Abstract Based on the numerical simulation of two dimensional unsaturated flow in a single fracture with the continuum approach，an evaluation on the application of Van Genuchten(VG) model and Brooks-Corey(BC) model in fractured rock mass is presented and an improved constitutive relation model is obtained by mainly comparing VG and BC models with the simulated and measured results. Although VG model can reasonably well match the simulated water retention curves，both VG and BC models underestimate relative permeability. Simulation results indicate that an improved model，derived from combination of Brooks-Corey relative permeability-saturation relation and the VG capillary pressure-saturation relation，can generally describe the characteristics of unsaturated flow in fractured rock masses，but the effectiveness of the model in some aspects needs further research，such as the relation curves for higher saturation condition. Key words hydrogeology，fractured rock mass，unsaturated seepage flow，constitutive relation，numerical analysis
1引言
实际工程中，裂隙岩体渗流的情况是很复杂的， 饱和渗流与非饱和渗流往往是同时存在的。单裂隙 是构成裂隙网络的基本组成单元，搞清楚单裂隙饱
和-非饱和渗流的基本规律对研究整个裂隙岩体的 渗流问题极为重要。裂隙岩体பைடு நூலகம்渗流的数值模拟可 以采用离散介质的裂隙网络模型、连续介质的双重 介质模型、离散-连续组合的双重裂隙系统模型等方 法，这些方法也都需要对构成介质的基本单元—— 裂隙的渗透特性以及饱和非饱和要素予以定量描述。
Wang Huiming1，Wang Enzhi1，Sun Yi2
(1Hydraulic Engineering Department，Tsinghua University， Beijing 100084 China) (2Hubei Qingjiang Hydroelectric Development Co. Ltd.， Yichang 443002 China)
(1)
kr = Se [1− (1− Se1/ m )m ]2
(2)
式中：Pc 为毛管压力；kr 为相对渗透率；α ，n 和 m 为经验参数， m = 1 − 1/ n 。有效饱和度为
Se
=
S − Sr Ss − Sr
(3)
式中：S 为水的饱和度， Sr 为残余饱和度， Ss 为最 大饱和度，m 为单裂隙开度尺寸分布的指标。由于
摘要 基于连续介质的方法，通过裂隙非饱和渗流的二维数值模拟，对裂隙岩体非饱和渗流中应用 Van
Genuchten(VG)模型和 Brooks-Corey(BC)模型进行评价并建立了改进的本构关系。VG 模型虽然可以与持水曲线匹
配得很好，但是 VG 模型和 BC 模型都对相对渗透率估计过低。模拟结果表明：改进的 BC 相对渗透率-饱和度的
2方法
2.1 有效本构关系的模拟
由于现场量测裂隙网络的毛管压力-饱和度的
关系通常很困难，本文将通过对二维裂隙网络渗流
的数值模拟来确定这些关系。
在裂隙的顶部和底部的边界施加同样的均匀毛
管压力，侧边为无流动边界。虽然裂隙网络的毛管
压力是变化的，裂隙的顶部和底部边界的毛管压力
可认为是有效毛管压力[3]。对于边界上不同的毛管
缺少实测数据，单裂隙的一些数据是假设的，但是
对总体的评价结果影响不大。参数α 可以由进气值 的倒数估算[7]。因此，单裂隙的α 值和相应的裂隙 开度的关系可表示为
α= b
(4)
2σ cosθ
式中：σ 为表面张力；θ 为接触角，假设为 0。开
度为 b 的平行板裂隙的渗透率也可以给出为
k = b2
(5)
第 22 卷 第 12 期 2003 年 12 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
22(12)：2037～2041 Dec，2003
裂隙岩体非饱和渗流本构关系*
王慧明 王恩志
孙役
(清华大学水利水电工程系 北京 100084) (湖北清江水电开发总公司 宜昌 443002)
图 3 中 Van Genuchten 的毛管压力与有效饱和 度关系与模拟得到的曲线吻合较好。裂隙的α 值是 1.39×10 –2。m 值为 0.379。
Brooks-Corey(BC)模型可以表示为
Se =| Pc / Pd |−λ
(7)
kr
=
S 3+2/ λ e
(8)
式中： Pd 为空气排驱压力，λ 为孔隙尺寸分布的无 量纲系数。如果 Pd 用 1/ λ 来估算，则 BC 模型的毛 管压力-饱和度关系公式(7)将与 VG 模型公式(1)等 价[7，8]，这时有
性，渗流的控制方程为
∂ ∂x
⎜⎛ ⎝
K (ψ
)
∂ψ ∂x
⎟⎞ ⎠
+
∂ ∂y
⎜⎜⎝⎛
K (ψ
)
∂ψ ∂y
⎟⎟⎠⎞
=
0
(6)
式中：ψ 为毛管负压。
对单裂隙中的非饱和渗流进行模拟，在 20 cm×
20 cm 的模拟区上，用 1 cm×1 cm 的正方形网格将
试样剖分成 400 个单元(图 1)。平均裂隙宽度为 0.169
λ = n −1
(9)
从该关系出发，可以用 BC 模型公式(8)通过 VG
模型的参数 n 来估算相对渗透率，从而减少特征参 数的数量。图 4 是用 VG 模型公式(2)和 BC 模型(m 值是由图 3 的拟合曲线得到的)预测的曲线与数值 模拟的相对渗透率-有效饱和度关系曲线的对比。 VG 和 BC 模型得到的相对渗透率值在给定的饱和度 下比数值模拟的值要小，而 BC 模型得到的结果比 VG 模型要好。这主要是由于两个方面的原因：第一， BC 模 型的相对渗 透率 -饱 和度 关 系曲线 是基 于 Burdine 模型[9]，Burdine 模型中孔隙是用一组相互 平行的毛细管来代表。而 VG 模型的关系曲线是基 于更加复杂的孔隙几何模型——Mualem 模型[10]。 Burdine 模型更适合于在垂直方向有许多渗流路径 的非饱和渗流[3]。第二，因为裂隙和孔隙空间几何 形态上的差异，裂隙中流体路径的迂曲度与多孔介 质会有相当大的差异。因为多孔介质中的孔隙尺寸 通常比裂隙的开度小很多，裂隙中的非饱和流主要 是重力驱动[5]，而在多孔介质中毛管力重要得多。
在进行数值模拟的同时又进行了非饱和渗流实 验。实验装置见图 2。非饱和区的压力测定采用压 阻式微型渗压传感器，它自身带温度补偿功能，具 有精度高、工作稳定性好及安装方便的优点。在垂 直单裂隙中沿位置高度同时布置了 3 列渗压传感 器，借助于计算机实现实验数据自动采集。
• 2039 •
图 3 VG 模型与数值模拟的毛管压力(对数)-有效饱和度的 关系曲线
• 2038 •
岩石力学与工程学报
2003 年
建立在连续介质方法上的非饱和渗流模型的关键参 数包括了毛管压力、饱和度、相对渗透率以及它们 之间的关系(称为本构关系)。模型结果的准确性很 大程度上取决于本构关系的准确性。Van Genuchten (VG)和 Brook-Corey(BC)模型在非饱和土壤渗流中 已得到较成熟的发展并且被成功地用来描述多孔介 质中的渗流[1]。这两个模型也被用到裂隙介质非饱 和渗流中[2]。但是，在裂隙网络应用 VG 和 BC 模型 有其不合理性，因为裂隙网络的几何形态与多孔介 质中孔隙的几何形态是不同的，而且，裂隙网络中 的非饱和渗流特征与多孔介质有很大差异。这两个 模型在裂隙介质模型中应用的有效性还有待于进一 步验证。本文通过数值模拟单裂隙的非饱和渗流本 构关系来评价 VG 和 BC 模型，在此基础上给出改 进的关系式。