数学实验报告
实验序号：8日期：6/5
班级
信科
姓名
学号
实验名称
概率与频率
问题背景描述：
概率，又称为几率、或然率，是反映某种事件发生的可能性大小的一种数量指标。它介于0和1之间。这里的事件是指随机现象中出现的某个可能结果。
实验目的：
概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分支学科，它有着悠久的历史。通过本实验的学习，加深对频率和概率等概念的理解和认识，并帮助掌握一些概率统计的原理。
4．分析附录中的[程序丙]和[程序丁]的设计本意。请问他们为什么都是错误的？
[程序丙] 结果 [程序丁] 结果
通过分析对比[程序丙]和[程序丁]与[程序乙]的区别，我们可以看出：
[程序丙]的a的赋值是错误的，曲线 的交点横坐标为 ，纵坐标为1，所以在对初始值a,b赋值时应分别赋为
[程序丁]不仅没有事先定义rand(1)*a和rand(1)*b，而且[程序丁]的if条件句rand(1)<1-rand(1)^2&rand(1)>=rand(1)^2也是错误的，rand(1)没有乘以a或b，使得结果偏小很多。
实验原理与数学模型：
相关函数（命令）简介
1． :生成 的随机矩阵,每个元素都在(0,1)间,生成方式为均匀分布
2． : 生成 的随机矩阵,每个元素都在(0,1)间,生成方式为正态分布
3. ：生成一个 的随机整数排列。
4． ：生成1到n的全排列，共n！个。
5．一系列取整的函数：
(1) 截尾法取整；
(2) ：退一法取整(不超过 x 的最大整数)；
5．设计一个三维投点的蒙特卡罗法计算 。并比较运行结果与二维投点的蒙特卡罗法的运行结果，哪个更准确些。
提示：随机投点落在单位正方体的内切球体内部。
试验次数n
100000
100000
100000
100000
100000
100000
（二维）所得 的近似值
3.1384
3.1452
3.1382
3.1385
3.1422
思考与深入：
本次实验通过计算机模拟验证了实验次数无限大情况下，频率近似等于概率的统计学结论，而且运用蒙特卡罗投点法近似求解了无理数 和不规则曲面面积。通过问题3、4我们因该注意到在使用蒙特卡罗投点法时应事先定义变量，再运行if条件句。
教师评语：
提示：随机投点落在单位正方体的内切球体内部。
实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：
1．通过实验，填写完成表格2~6的数据
实验1：随机投掷均匀骰子，验证各点数出现的概率是否为1/6
表2
试验次数/n
10000
10000
10000
10000
10000
10000
国徽朝上频率
0.4968
0.5078
从实验结果我们可以看出[程序乙] 的误差要小很多，所以我们有理由认为[程序乙]正确，另一方面，分析[程序甲]和[程序乙]的不同之处：
（1）[程序甲]没有分别用变量x和y事先定义rand(1)*a和rand(1)*b
（2）[程序甲]的if条件句：rand(1)*b>=(rand(1)*a)^2&rand(1)*b<1-(rand(1)*a)^2
主要内容（要点）：
1．通过实验，填写完成表格2~6的数据
3．用Monte Carlo方法求两平面曲线 所围成的区域的面积。试分析[程序甲]和[程序乙]的不同之处。试问：哪一个程序是对的？为什么？
4．分析附录中的[程序丙]和[程序丁]的设计本意。请问他们为什么都是错误的？
5．设计一个三维投点的蒙特卡罗法计算 。并比较运行结果与二维投点的蒙特卡罗法的运行结果，哪个更准确些。
出现六点频率
0.1662
0.1712
0.168
0.1698
0.1646
实验3：利用蒙特卡罗（monte carlo）投点法计算 。
表4
试验次数n
100000
100
100000
100000
所得 的近似值
3.1384
3.1452
3.1382
3.1385
3.1422
3.1321
0.4936
0.4999
0.5007
0.5004
国徽朝下频率
0.5031
0.4978
0.4991
0.4943
0.5017
0.5019
实验2：随机投掷均匀骰子，验证各点数出现的概率是否为1/6
表3
试验次数n
10000
10000
10000
10000
10000
出现一点频率
0.1715
0.1675
0.1704
(3) ：进一法取整(=floor(x)+1)；
(4) ：四舍五入法取整。
6． ：合并a中相同的项。
7． 表达式
case 情况1
命令系列1
case 情况2
命令系列2
……
otherwise
命令系列
end
8． ：向量 x 的所有分量元素的积。
9. 生成一个1到n的随机整数。
实验所用软件及版本：
Matlab 2009
3.1321
（三维）所得 的近似值
3.1483
3.1267
3.1398
3.1295
3.1452
3.1216
通过对比二维与三维投点的蒙特卡罗法的运行结果可以发现，二维投点的蒙特卡罗法的运行结果更加准确。
实验结果报告与实验总结：
通过本实验加深了我们对频率和概率等概念的理解和认识，而且我们可以体会到运用经典的蒙特卡罗投点法可以近似求解无理数 或是不规则曲面面积等，从频率与概率的角度来解决数学问题也是一个很好的思路。
[程序乙]的if条件句：y<=1-x^2&y>x^2
即：rand(1)*b<=1-(rand(1)*a)^2&rand(1)*b>(rand(1)*a)^2
可以看出[程序甲]和[程序乙]的取等情况及不等式的顺序不同，不过很显然，这两种逻辑并不影响实验结果。
经过分析[程序甲]和[程序乙]的不同之处我们可以认为，由于[程序甲]没有用变量x和y事先定义rand(1)*a和rand(1)*b而引起甲乙两结果不同，所以Monte Carlo投点法在使用过程中应事先定义，再进行if语句的运行。
0.166
0.1683
出现二点频率
0.1661
0.1628
0.1617
0.1648
0.1673
出现三点频率
0.1629
0.1656
0.1685
0.1676
0.1748
出现四点频率
0.1723
0.1629
0.1638
0.166
0.1616
出现五点频率
0.161
0.17
0.1676
0.1658
0.1634