vx =
vix
i
N
+ N = vxdNvx/N = vx f(vx)dvx = 0 -
同理对 y、z 分量，故平均速度为零。
例：用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积上的 气体分子数。 解：取直角坐标系xyz，在垂直于x轴的器壁上取一 小块面积dA。设单位体积内的气体分子数为n，则 单位体积内速度分量 v x 在 vx vx dvx 之间的分子数为：
1 2
kT
设平动自由度 t ，转动自由度 r，振动自由度 s，平均总能量：
K=（t + r +2 s）
单原子分子
1
kT
2
K=
3 2
kT
刚性双原子分子
K=
5
kT
2
非刚性双原子分子 三、理想气体内能
K=
7
2
kT
N U m N k (t r 2s ) kT 2 v (t r 2 s ) RT 2
f (v)dv
意义：速率 v 附近单位速 率间隔内分子数占总分子 数的比率。
表示：速率 v 附近dv速率间隔内分子数占总分子数 的比率。
显然


0
f (v)dv 1
归一化条件
• 麦克斯韦速率分布函数
m f (v) 4 ( ) 2 kT
f(v) f(vp)
3
2
e
mv 2
2 kT
v
nf (vx )dvx
在所有 v x 介于 vx vx dvx 之间的分子中，在 一段时间 dt 内能够与 dA 相碰的分子只是位于 以 dA为底，以 vx dA 为高的柱体中的部分，其数目 为：
nf (vx )dvx vx dtdA nvx f (vx )dvx dtdA
因此，每秒碰到单位面积器壁上速度分量在 vx vx dvx 之间的分子数为：
（2）分子的质量m越大，n减小得越迅速；
（3）气体的温度越高，n减小得越缓慢。来自n n0 e n0 e
mgh kT
gh RT
由上式还可确定气体压强随高度变化的规律：
将气体视为理想气体， 在一定温度下：
p nkT
n0 kTe p0 e
mgh kT kT
等温 气压 公式
p0 n0 kT
第三章
气体分子热运动速率和 能量的统计分布率
气体以各种大小的速度沿各个方向运动着，而且由于相互碰 撞，每个分子的速度都在不断地改变。因此，若在某一特定的 时刻去去考察某一特定的分子，则它的速度的大小和方向完全 是偶然的。然而，就大量分子整体看来，在一定的条件下，它 们的速度分布却遵从一定的统计规律。 先讨论气体分子速率分布规律，再讨论按速度和能量的分布 规律。
上式对气体分布全空间积分，即得到分子按速度的分布：
m 3 2 k dN N ( ) e 2 kT
积分中利用了：
kT
dvx dv y dvz
n e
r 0
p kT
dxdydz N
二、重力场中的气体分子按位置分布
在重力场中，气体分子受到两种互相对立的作用。 无规则热运动：使气体分子均匀分布于它们所能达到的空间。 重力：使气体分子聚集到地面上。 两种作用平衡时，气体分子在空间作非均匀分布，分子数随高
度而减小。
dN p n n0 e dxdydz mgh n0 e
n0 e
kT
kT
gh RT
上式表示重力场中气体分子数密度随高度的变化。
n n0 e n0 e
mgh kT
gh RT
表示：在重力场中 高度h处单位体积内 的分子数。
表明：（1）n随高度的增大按指数减小。
m 3 2 ( k p ) kT dN n0 ( ) e dvx dv y dvz dxdydz 2 kT
上式称为玻耳兹曼分子按能量分布定律，简称玻耳兹曼 分布率。
m 3 2 ( k p ) kT dN n0 ( ) e dvx dv y dvz dxdydz 2 kT
§ 1. 气体分子的速率分布律
按统计假设，分子速率通过碰撞不断改变，不好说正处于哪个速 率的分子数多少。用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为 多少的表述比较合适，这就是分子按速率的分布。
• 速率分布函数：
设总分子数N，速率区间 v ~ v+dv，该速率区间内分子数 dNv 速率分布函数 则
dN v N
= f(vx)dvx
1/2
e -m vx /2kT
2
f(vx)dvx=1 -
+
同理对 y、z 分量有相同结果
速度在区间 vx ~ vx+dvx ， vy ~ vy+dvy ， vz ~ vz+dvz
即，区间 v ~ v + dv ，分子数dNv
dNv N = f( v ) dv =f(vx) f(vy) f(vz) dvx dvydvz
x x dx, y y dy, z z dz 微元体积 d dxdydz 。在该微元中分布的速度
介于 vx vx dvx , v y v y dv y , vz vz dvz 之间的 气体分子数为 dN ，则：
x, y, z ) 处选取一个空间微元
理想气体内能只是温度的函数，与热力学温度成正比。
四、理想气体热容
热容（C）：温度升高或降低1℃物体所吸收或放出的热量。
比热容（c）：物质单位质量的热容。
C Mc
摩尔热容（Cm）：1mol物质温度升高或降低1℃物体所吸收 或放出的热量。
Cm c
※
状态变化过程不同，吸收或放出的热量不同。即同种气体 在不同的过程中有不同的热容。
1 2
kT
非刚性双原子分子 除平动能、转动能， 还有振动能： 振动自由度 = 1
E振动 =
1 2
• r2
每个振动自由度分配平均能
1
2
kT
在一个振动周期内，振动能量除动能外，还有相等的平均势
能。因此，每个振动自由度具有还有kT/2的平均势能。
1 2
E振动 =

• r2
+
1 2
kr 2
即：每个振动自由度分配平均能 2×
2 kT
vx dvx
压强 P= 2mvxÑ(v)dv =
+ n 2mf(vx) vx2 dvx
0
=
+ n mf(vx) vx2 dvx=nm vx2 = -
1 3
nm v2
以上推导用到
f(vy)dvy= f(vz)dvz=1 - -
+
+
§ 2. 麦克斯韦速率分布律的实验验证
p kT
dxdydz
dN n0e
e
mv2 2 kT
p kT
dxdydz
玻耳兹曼注意到在麦克斯韦速度分布率中指数项： 其中 k 是分子的平动能，它只是分子速度的函数。即
e
k / kT
dN m 3 2 k f (v )dv f ( k )dv ( ) e N 2 kT
m 1 2 mvx2 nvx f (vx )dvx nvx ( ) e 2 kT
2 kT
dvx
到无穷大积分,得到每秒碰到单位面积上的分子总数：
vx 0 的分子不会与dA碰撞，所以将上式对dVx从０


0
m 1 2 mvx2 nvx f (vx )dvx n( ) e 0 2 kT kT 1 2 n( ) 2 m 1 nv 4
讨论了气体分子按速度和速率的分布。
m 12 f (v x ) ( ) e 2 kT
mvx 2
2 kT
m f (v ) ( ) 2e 2 kT
3
mv2
2 kT
m f (v) 4 ( ) 2e 2 kT
3
mv 2
2 kT
v
2
接下来讨论气体分子按位置的分布。
一、玻耳兹曼分布律
平均速率 v=
vi
i
8kT
N
N = vdNv/N = v f(v)dv
0

v=
m
=
8RT

方均根速率 v2 =
v2 i
i
N
N = v2dNv/N = v2 f(v)dv
0
v2 = 3kT/m
v2
=
3kT
m
=
3RT

•麦克斯韦速度分布函数
速度 v ~（vx ，vy ，vz） 设总分子数N，速度分量区间 vx ~ vx+dvx ， 该速度分量区间内分子数 dNvx 速度分量分布函数 dNvx N f(vx)= m 2 kT
1 由理想气体模型 2 + 1 mv 2 + 1 mv 2 E= mvx y z 单原子分子： 2 2 2 1 平均动能 = 3 kT 每个平动自由度分配平均能 2 刚性双原子分子 除平动能，还有 转动能： z E转动 = 1 2 IX x 2 + 1 2 IY
2 y
1
kT
2
每个转动自由度分配平均能
p0 e mgh
表示：h=0（地面）处的压强。
gh RT
利用气压公式可近似估算爬山或航空中上升的高度：
p0 RT h ln g p
§ 4. 能量均分定理
研究气体的能量时，气体分子不能再看成质点，微观模型 要修改，因为分子有平动动能，还有转动动能，振动动能。 一、自由度： 自由度：确定一个物体的空间位置 所需要的独立坐标数目。 N个 原子组成的分子 总自由度= 3N 其中：整体平动自由度 =3 ， 整体转动自由度= 3 振动自由度 = 3N - 6 二、能量均分定理：在温度 T的平衡状态 下，物质分子的每一个 自由度都具有相同的平均动能，其大小都等 于kT/2。