第五节大样本区间估计
一、两点分布大样本区间估计
二、例题选讲
一、两点分布大样本区间估计
置信区间是
的
的置信度为
则
为未知参数
其中
的分布律为
的总体
分布
它来自
的大样本
设有一容量
α
-=
-
=
-
>
-
1
,
,1,0
,
)
1(
)
;
(
,
)1
0(
,
50
1
p
p
x
p
p
p
x
f
X
X
n
x
x
,
2
4
,
2
42
2
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
+
-
-
-
-
a
ac
b
b
a
ac
b
b
,
2
2/
α
z
n
a+
=
其中),
2(2
2/
α
z
X
n
b+
-
=.2
X
n
c=
推导过程如下:
因为(0–1)分布的均值和方差分别为
),
1(,2
p p p -==σμ , ,,, 21是一个样本设n X X X 因为容量n 较大,
由中心极限定理知
)
1()1(1
p np np X n p np np X n
i i --=--∑=
, )1,0( 分布近似地服从N ,
1)1(2/2/ααα-≈⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<--<-z p np np
X n z P
2/
2/)
1(α
α
z
p
np
np
X
n
z<
-
-
<
-
不等式
,0
)
2(
)
(2
2
2/
2
2
2/
<
+
+
-
+X
n
p
z
X
n
p
z
n
α
α
等价于
,
2
4
,
2
42
2
2
1a
ac
b
b
p
a
ac
b
b
p
-
+
-
=
-
-
-
=
令
,
2
2/
α
z
n
a+
=
其中),
2(2
2/
α
z
X
n
b+
-
=.2
X
n
c=
的置信区间是的近似置信水平为
则α
-
1
p
).
,
(
2
1
p
p
设从一大批产品的100个样品中, 得一级品60个, 求这批产品的一级品率 p 的置信水平为0.95的置信区间.
解 一级品率 p 是(0-1)分布的参数,
,100=n ,6.0100
60
==x ,95.01=-α,
96.1025.02/==z z α,
84.103 2
=+=z n a 则例1 ,24,2422⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+----a ac b b a ac b b , 22/αz n a +=其中),2(2
2/αz X n b +-=.
2X n c =置信区间 二、例题选讲
)2(2
2/αz X n b +-=)2(2
2/αz x n +-=,84.123-=2
2x n X n c ==,
36=a
ac
b b p 242
1---=
于是a
ac b b p 2422-+-=,50.0=,
69.0=p 的置信水平为0.95的置信区间为 ).
69.0,50.0(2
/2 103.84,
a n z α=+=
设从一大批产品的120个样品中, 得次品9个, 求这批产品的次品率p 的置信水平为0.90的置信区间.
解,
120
=
n,
09
.0
100
9
=
=
x,
90
.0
1=
-α
例2
2
2
α
z
n
a+
=
则,
71
.
122
=
)
2(2
2
α
z
X
n
b+
-
=)
2(2
2
α
z
x n+
-
=,
31
.
24
-
=
2
X
n
c-
=2x n
-
=,
972
.0
=
p 的置信水平为0.90的置信区间为).
143
.0,
056
.0(
a
ac
b
b
p
2
4
2
1
-
-
-
=
于是,
056
.0
=
a
ac
b
b
p
2
4
2
2
-
+
-
=,
143
.0
=。