第3章矩阵的初等变换与线性方程组[视频讲解]
3.1本章要点详解
本章要点
■初等变换的概念与性质
■矩阵之间的等价关系
■初等变换与矩阵乘法的关系
■初等变换的应用
■矩阵的秩
■线性方程组的解
重难点导学
一、矩阵的初等变换
1．初等变换
下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
(1)对调两行（对调i，j两行，记作r i↔r j）；
(2)以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）；
(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）．
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．
2．矩阵等价
(1)定义
①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；
②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；
③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．
（2）矩阵之间的等价关系的性质
①反身性A～A；
②对称性若A～B，则B～A；
③传递性若A～B，B～C，则A～C．
（3）矩阵的类型
①两个矩阵
，
矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.
行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．
结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．
②标准形
矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形
此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有
与A 等价的矩阵组成一个集合，标准形F 是这个集合中形状最简单的矩阵．
3．初等变换与矩阵乘法的关系
（1）定理
设A 与B 为m ×
n 矩阵，则：
①
的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P ，使PA ＝B ；②的充分必要条件是存在n 阶可逆矩阵Q ，使AQ ＝B ；
③A ～B 的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,使PAQ ＝B ．
（2）初等矩阵
由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．
（3）性质
①设A 是一个m ×n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，等价于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，等价于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵．
②方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P 1，P 2，…P l ，使A ＝P 1P 2…P l ．
③方阵A 可逆的充分必要条件是
.
4．初等变换的应用
当||0A ≠时,由12l A PP P = ,有
11111l l P P P A E ----= 及111111l l P P P E A -----= 所以
()
()
()
1111111111111111|||l l l l l l P P P A E P P P A P P P E E A --
----
-------== 即对n ×2n 矩阵()|A E 施行初等行变换，当把A 变成E 时，原来的E 就变成A -
1．
二、矩阵的秩
1．秩的定义
（1）k阶子式
在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有个．
（2）矩阵的秩
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．
（3）最高阶非零子式
由行列式的性质可知，在A中当所有r＋1阶子式全等于0时，所有高于r＋1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数．
（4）满秩矩阵与降秩矩阵
可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．
（5）等价矩阵的秩
①若A～B，则R(A)=R(B).
②若可逆矩阵P，Q使PAQ＝B，则R(A)＝R(B)．
2．秩的性质
（1）0≤R(A m×n)≤min{m，n}
（2）R(A T)=R(A)；
（3）若A～B,则R(A)=R(B)；
（4）若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；
（5）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)特别地，当B＝b为非零列向量时，有R(A)≤R(A，b)≤R(A)＋1；
（6）R(A＋B)≤R(A)＋R(B)；
（7）R(AB)≤min{R(A)，R(B)}；
（8）若A m×n B n×l＝0，则R(A)＋R(B)≤n.
3．满秩矩阵
矩阵A的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．
4.结论
（1）设A为n阶矩阵，则R(A＋E)＋R(A－E)≥n．
（2）若A m×n B n×l＝C，且R(A)＝n，则R(B)＝R(C).。