rC
rA
M
W F M F N r C 0
y
y
x l sin
y l cos
广义坐标 —— 确定质点
广义坐标 系位形的独立参变量。
x1 a sin y1 a cos x2 a sin b sin y2 a cos b cos
,广义坐标
广义坐标 —— 确定质点系位形的独立参变量。 用 q1，q2，…表示。
自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。
非定常约束－约束方程中显含时间的约束：
f(r i， t) 0 i ,1 ,2 ,,n ( 质 ) ； 点 1,数 ,s 2 ( 约 , )束
x O
v
x2y2(l0v)t2
M
y
3. 单面约束与双面约束
双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。
单面约束 —— 约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束。
虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍 方程， 又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍 的方法。这些理论构成分析力学的基础。
§5.1.1 约束及其分类
约 束——物体运动所受到的限制
1. 几何约束与运动约束
几何约束
x
O
l A A0
y
在质点系中，所加的约束只能限 制各质点在空间的位置或质点系的 位形。
N=3n—s
对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的 函数形式
xi xi(q1,q2,qk,t) yi yi(q1,q2,qk,t)(i1,2,,n) zi zi(q1,q2,qk,t)
§5.2.1 虚位移和理想约束
1. 虚 位 移
y A rA
M
质点系在给定瞬时，
为约束所允许的无限
小位移——虚位移
中所作的虚功的和等于零——虚位移原理
Fi ——主动力 FNi——约束反力 ri——虚位移
∑Fi · ri = 0
Fi Fxii Fyi j Fzik ri xii yi j zik
ri xii yi j zik
(F xix i F yiy i F zizi) 0
上式称为虚位移原理的解析表达式
虚功原理
※ 引言 ※ 约束及其分类 ※ 自由度和广义坐标 ※ 虚位移和理想约束 ※ 虚位移原理 ※ 以广义坐标表示的质点系平衡条件 ※ 质点系在有势力作用下的平衡问题 ※ 结论与讨论
引言
虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题， 是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束 的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚 位移原理求解比列平衡方程更方便。
y
yB
B
y
C
vC
O R
x x
C*
xC R 0 可以积分为 xC R 0
圆轮所受约束为完整约束。
A
yA
vA
O
xA
xB
x
xA xB xA yA yB yA
约束方程不可积分，所以导弹 所受的约束为非完整约束。
§5.1.2 广义坐标与自由度
O
x
l
A(x, y)
O
x
a
A(x1, y1)
b
B(x2, y2)
（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个； （2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
dr ——实位移 r ——虚位移
M dre
dr
r
M1
2. 虚 功
质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。
W = F· r W = M·
3. 理想约束
质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我 们把这种约束系统称为理想约束。
解： 取系统为研究对象
rA
A
Байду номын сангаас
∑Fi · ri = 0
M
rB
W F M F r B 0O
F
由运动学关系可知：
rArB
rA
r
B
W F M F rB (M r F )rA 0
FM/r
例 题 2 已知：菱形边长为a ,
D
螺距为h，顶角为2 ，主动力偶为M.
求： 物体C所受到的压力。
B
A
解： (1) 取系统为研究对象
y
O
B
x
yB 0(双面约)束
y
x
O
B
yB 0(单面约)束
3. 单面约束与双面约束
O
l A A0
y
x
约束方程？
单面约束还是双面约束？
O
x
l A
A0 y
x2 y2 l2(双面约) 束
x2 y2 l2(单面约) 束
4. 完整约束与非完整约束
完整约束 —— 约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束。
O
rB Fx
B
（1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；
（2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许； （3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同； （4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
虚位移与实位移的区别和联系
实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间 隔内发生的位移。
f(x,y)x2y2l20
运动约束
在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限 制它们运动的速度。
y
B
y
yB
C
vC
O R
x x
C*
f x R 0
A
yA
vA
O
xA
xB
x
xA xB xA yA yB yA
2. 定常约束与非定常约束
定常约束－约束方程中不显含时间的约束：
f(r i) 0 i ,1 ,2 ,,n (质) ； 点 1数 ,,s 2 (约 , )束
应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采 用以下方法：
（1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；
（2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对 坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。
例 题1
已知：OA=r , AB=l, 不计各杆质量。
求： 平衡时F与M 间的关系。
∑FNi · ri = 0
§5.2.2 虚功原理（虚位移原理 ）
Fi + FNi = 0
Fi · ri + FNi · ri = 0
∑Fi · ri + ∑FNi · ri = 0 ∑FNi · ri = 0
m1 Fi mi FNi
m2 ri
∑Fi · ri = 0
对于具有理想约束的质点系，其平衡条件 是：作用于质点系的主动力在任何虚位移
f(r i) 0 i ,1 ,2 ,,n (质) ； 点 1数 ,,s 2 (约 , )束
非完整约束 —— 约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束。
f(r i， r i) 0 i ,1 ,2 ,,n ( 质 ) ； 点 1,数 ,s 2 ( 约 , )束
4. 完整约束与非完整约束