专题15 全等三角形总分数 100分时长:不限题型填空题简答题综合题题量 2 4 8总分8 20 961(4分)（2017娄底中考）如图，在与中，已知∠A∠D=90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使.你添加的条件是____1____.2(4分)（2017怀化中考）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：____1____，使得.3(5分)（2017益阳中考）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E.求证：BC=CE.4(5分)（2017岳阳中考）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程.已知：如图，在中，对角线AC，BD交于点O，.求证：.5(5分)（2017郴州中考）已知中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB，AC的中点.求证：BE=CD.6(5分)（2016衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．7(10分)（2017衡阳中考）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连接CE 并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接DF，以CE，CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD，AC分别交于点H，M，GF交CD延长线于点N.(1)(3分)证明：点A，D，F在同一条直线上；(2)(3分)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；(3)(4分)连接EF，MN，当时，求AE的长.8(6分)（2017长沙中考）如图，AB与☉O相切于点C，OA，OB分别交☉O于点D，E，.(1)求证：OA=OB；(2)已知AB=，OA=4，求阴影部分的面积.(1)(4分)求证：OA=OB；(2)(5分)已知AB=，OA=4，求阴影部分的面积.9(20分)（2017郴州中考）如图，是边长为4 cm的等边三角形，AB在射线OM上，且OA=6 cm.点D从D点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，运动时间为t(单位：s).当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转60°得到，连接DE.(1)(3分)求证：是等边三角形；(2)(4分)当6<t<10时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)(5分)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.10(14分)（2017株洲中考）如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF 上，EF与BC交于点G，连接CF.(1)(3分)求证：；(2)(3分)求证：.11(20分)（2017郴州中考）如图，是边长为4 cm的等边三角形，AB在射线OM 上，且OA=6 cm.点D从D点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，运动时间为t(单位：s).当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转60°得到，连接DE.(1)(3分)求证：是等边三角形；(2)(4分)当6<t<10时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)(5分)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.12(6分)（2017永州中考）如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E.(1)(3分)求证：AF=CE；(2)(3分)若DE=2，BE=4，求sin∠DAF的值.13(6分)（2017怀化中考）如图，四边形ABCD是正方形，是等边三角形.(1)(3分)求证：：(2)(3分)求∠AED的度数.14(14分)（2017株洲中考）如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF 上，EF与BC交于点G，连接CF.(1)(3分)求证：；(2)(3分)求证：.专题15 全等三角形参考答案与试题解析1(4分)（2017娄底中考）如图，在与中，已知∠A∠D=90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使.你添加的条件是____1____.【解析】本题考查全等三角形的判定.根据已知条件可得∠A=∠D=90°，BC=CD，若利用“HL”进行判定，则需添加AB=DC或AC=DB；若利用“AAS”进行判定，则需添加∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC.根据全等三角形的判定定理确定添加的条件是解答本题最有效的方法.【答案】AB=DC(答案不唯一)2(4分)（2017怀化中考）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：____1____，使得.【解析】本题考查全等三角形的判定.本题已具备两边对应相等，再需要第三边或两边的夹角对应相等，故可以添加的条件是AB=DE(或∠ACD=∠ECB或∠ACB=∠DCE).【答案】AB=DE(或∠ACD=∠ECB或∠ACB=∠DCE)3(5分)（2017益阳中考）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E.求证：BC=CE.【解析】【名师指导】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质.【答案】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，.∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，∵F是CD的中点，即DF=CF，∴，∴AD=CE，∴BC=CE.4(5分)（2017岳阳中考）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程.已知：如图，在中，对角线AC，BD交于点O，.求证：.【解析】【名师指导】本题考查文字命题的证明过程、菱形的判定. 【答案】解已知：AC⊥BD，求证：是菱形.证法一：在中，AC⊥BD，OA=OC，∴BD所在直线是AC的垂直平分线，∴DA=CD，∴是菱形.证法二：在中，AC⊥BD，OA=OC，∴∠AOD=∠COD=90°，在和中，∵∴，∴DA=DC，∴.5(5分)（2017郴州中考）已知中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB，AC的中点.求证：BE=CD.【解析】【名师指导】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质.由SAS证明即可求证.【答案】证明：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，又点D，E分别为边AB，AC的中点，∴AD=AE，在和中，∴，∴BE=CD.6(5分)（2016衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．【解析】略【答案】证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△AED和△BFC中，，∴△AED≌△BFC（ASA），∴DE=CF．7(10分)（2017衡阳中考）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连接CE 并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接DF，以CE，CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD，AC分别交于点H，M，GF交CD延长线于点N.(1)(3分)证明：点A，D，F在同一条直线上；(2)(3分)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；(3)(4分)连接EF，MN，当时，求AE的长.【解析】(1)本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定的性质、勾股定理、角平分线的性质，综合性较强.由正方形的性质和已知条件可判定两个三角形全等，再根据平角定义得三点共线；(2)根据已知条件可证得两个三角形相似，再根据比例式或等量关系得二次函数解析式，化为顶点式即可求出最值；(3)先判定矩形为正方形，则可得等腰直角三角形，再结合已知条件证得两三角形全等，做垂线利用角平分线的性质可证得线段相等，然后设未知数，根据勾股定理列出方程，解出即可.【答案】(1)解：证明：∵四边形ABCD是正方形，∠BCD=90°.BC=DC.∵∠ECF=90°，∴∠BCE=∠DCF.在和中，BC=DC，∠BCE=∠DCF，CE=CF，∴.∴∠CDF=∠B=90°.∵∠CDA=90°，∴∠ADF=∠CDF+∠CDA=180°，∴点A，D，F在同一直线上.(2)解法一：∵∠GEC=90°，∴∠AEH+∠BEC=90°.∴∠BCE+∠BEC=90°，∠AEH=∠BCE.∵∠B=∠HAE=90°，∴.∴.设AE=x(0≤x≤1)，则BE=1-x，∴AH=x(1-x)，∴=，∴当x=时DH有最小值，最小值为.解法二：由∠GFH=∠FCN.∠FGH=∠FDC=90°，FG=CF，得.∴FH=CN.设BE=x，由(1)知FD=BE，∴FD=x.由得.∴DH=FH-FD=CN-FD=CD+DN-FD=.以下同解法一.(3)∵CE=CF，∴矩形CFGE为正方形，∴△GEF为等腰直角三角形。

∵MN∥EF，∴∠EFG=∠MNG=45°，∠FEG=∠NMG=45°.∴GM=GN，∴EM=FN.在△MEC和△NFC中，EC=FC，∠CEM=∠CFN=90°，EM=FN.∴△MEC△NFC，∴∠ECM=∠FCN.又∵∠FCN=∠BCE，∴∠ECM=∠BCE.过点E作EI⊥AC，垂足为I，则EI=BE.∵∠BAC=45°∴EI=AI.解法一：设AE=x，由勾股定理知EI2+AI2=AE2.即(1-x)2+(1-x)2=x2，解得，(舍).∴当时，.解法二：∴∴.8(6分)（2017长沙中考）如图，AB与☉O相切于点C，OA，OB分别交☉O于点D，E，.(1)求证：OA=OB；(2)已知AB=，OA=4，求阴影部分的面积.(1)(4分)求证：OA=OB；(2)(5分)已知AB=，OA=4，求阴影部分的面积.【解析】(1)【名师指导】本题考查圆的性质、切线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、扇形的面积公式.根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等得到角的相等关系，进而得到三角形全等，从而得到对应边相等证明结论；(2)根据(1)中的结论求解相关线段的长度，从而求解三角形和扇形的面积，进而求解阴影部分的面积.【答案】(1)解：证明：连接OC，∵AB与☉O相切于点C，∴∠ACO=∠BCO=90°，又∵，∴∠COD=∠COE，在和中，∴∴OA=OB.(2)由(1)得OA=OB=4，BC=AC=∴在中，，，∴∠BOC=60°.∴，∴.9(20分)（2017郴州中考）如图，是边长为4 cm的等边三角形，AB在射线OM上，且OA=6 cm.点D从D点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，运动时间为t(单位：s).当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转60°得到，连接DE.(1)(3分)求证：是等边三角形；(2)(4分)当6<t<10时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)(5分)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)【名师指导】本题考查图形的旋转、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质、动点问题.由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形进行判定；(2)根据当CD⊥AB时，的周长取得最小值求解；(3)分点D与点A重合，与点B重合，0≤t<6，6<t<10，t>10讨论确定t的值.【答案】(1)解：证明：∵是由△ACD绕点C逆时针方向旋转60°所得，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴是等边三角形.(2)存在，当6<t<10时，由旋转可知，BE=AD，设为的周长，∴，又由(1)可知，是等边三角形，∴DE=CD.∴，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，的周长最小，此时.∴△BDE的最小周长为.(3)存在.①∵当点D与点A重合时，A，C，D不能构成三角形；当点D与点B重合时，D，E，B不能构成三角形.∴t≠6，t≠10.②当0≤t<6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE<60°，从而当∠BED=90°时，符合题意. 由(1)可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC=60°，∴∠CEB=30°又∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4 cm，∴OD=OA-DA=6-4=2(cm)，∴t=2÷1=2.③当6<t<10时，∵∠DBE=120°>90°，∴此时不存在.④当t>10时，由旋转可知，∠DBE=60°，又由(1)知，∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC>0°，∴∠BDE>60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BED=∠BDC=∠BCD=30°，∴BD=BC=4 cm.∴OD=OB+BD=10+4=14(cm)∴t=14÷1=14，综合①②③④，当t=2或t=14时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形.10(14分)（2017株洲中考）如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF 上，EF与BC交于点G，连接CF.(1)(3分)求证：；(2)(3分)求证：.【解析】(1)【名师指导】本题考查正方形和等腰三角形的性质及全等三角形和相似三角形的判定.用SAS证明；(2)用两组对应角相等证明.【答案】(1)证明：在等腰直角三角形DEF中，DE=DF在正方形ABCD中，DA=DC∵∠EDF=∠ADC=90°，∴∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADE，∴∠EDA=∠FDC.在与中，∵DE=DF，DA=DC，∠EDA=∠FDC，∴.(2)由题可知GB=∠CGF，∠ABG=90°.由有∠DFC=∠DEF=45°，又∠DFE=45°则∠GFC=90°.∴∠ABG=∠CFG，∴.11(20分)（2017郴州中考）如图，是边长为4 cm的等边三角形，AB在射线OM 上，且OA=6 cm.点D从D点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，运动时间为t(单位：s).当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转60°得到，连接DE.(1)(3分)求证：是等边三角形；(2)(4分)当6<t<10时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)(5分)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)【名师指导】本题考查图形的旋转、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质、动点问题.由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形进行判定；(2)根据当CD⊥AB时，的周长取得最小值求解；(3)分点D与点A重合，与点B重合，0≤t<6，6<t<10，t>10讨论确定t的值.【答案】(1)解：证明：∵是由△ACD绕点C逆时针方向旋转60°所得，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴是等边三角形.(2)存在，当6<t<10时，由旋转可知，BE=AD，设为的周长，∴，又由(1)可知，是等边三角形，∴DE=CD.∴，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，的周长最小，此时.∴△BDE的最小周长为.(3)存在.①∵当点D与点A重合时，A，C，D不能构成三角形；当点D与点B重合时，D，E，B不能构成三角形.∴t≠6，t≠10.②当0≤t<6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE<60°，从而当∠BED=90°时，符合题意. 由(1)可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC=60°，∴∠CEB=30°又∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4 cm，∴OD=OA-DA=6-4=2(cm)，∴t=2÷1=2.③当6<t<10时，∵∠DBE=120°>90°，∴此时不存在.④当t>10时，由旋转可知，∠DBE=60°，又由(1)知，∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC>0°，∴∠BDE>60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BED=∠BDC=∠BCD=30°，∴BD=BC=4 cm.∴OD=OB+BD=10+4=14(cm)∴t=14÷1=14，综合①②③④，当t=2或t=14时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形.12(6分)（2017永州中考）如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E.(1)(3分)求证：AF=CE；(2)(3分)若DE=2，BE=4，求sin∠DAF的值.【解析】(1)【名师指导】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形.根据菱形的性质可证△AFD≌△CEB后得到AF=CE；(2)利用勾股定理求出AF和AD，然后利用正弦函数的定义求解即可.【答案】(1)解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CB，∠A=∠C.又∵BE⊥CD，DF⊥AB，∠AFD=∠CEB=90°，∴，∴A F=CF.(2)设AF=x，则AD=AB=2+x.由勾股定理得，解得x=3，∴AD=5，∴.13(6分)（2017怀化中考）如图，四边形ABCD是正方形，是等边三角形.(1)(3分)求证：：(2)(3分)求∠AED的度数.【解析】(1)【名师指导】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理.利用正方形和等边三角形的性质，可证三角形全等；(2)利用(1)的结论和三角形的内角和即可求解.【答案】(1)解：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°.∵BE=CE，∠EBC=∠ECB=∠BEC=60°，∴∠ABE=∠DCE=30°，∴.(2)∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，∴AB=BC=BE，∴.又，∴∠CED=∠CDE=75°，∴∠AED=360°-75°-75°-60°=150°.14(14分)（2017株洲中考）如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF 上，EF与BC交于点G，连接CF.(1)(3分)求证：；(2)(3分)求证：.【解析】(1)【名师指导】本题考查正方形和等腰三角形的性质及全等三角形和相似三角形的判定.用SAS证明；(2)用两组对应角相等证明.【答案】(1)证明：在等腰直角三角形DEF中，DE=DF在正方形ABCD中，DA=DC∵∠EDF=∠ADC=90°，∴∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADE，∴∠EDA=∠FDC.在与中，∵DE=DF，DA=DC，∠EDA=∠FDC，∴.(2)由题可知GB=∠CGF，∠ABG=90°.由有∠DFC=∠DEF=45°，又∠DFE=45°则∠GFC=90°.∴∠ABG=∠CFG，∴.。