2011年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•安徽）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（ ）A．2 B．﹣2 C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．【解答】解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A【点评】本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）（2011•安徽）集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则S∩（∁U T）等于（ ）A．{1，4，5，6} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用补集的定义求出T的补集；利用交集的定义求出两个集合的交集．【解答】解：∁U T={1，5，6}∴S∩（∁U T）={1，5}故选B．【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算．3．（5分）（2011•安徽）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2 B．C．4 D．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长．【解答】解：2x2﹣y2=8即为∴a2=4∴a=2故实轴长为4故选C【点评】本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值．4．（5分）（2011•安徽）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（ ）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】待定系数法．【分析】把圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选 B．【点评】本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．5．（5分）（2011•安徽）若点（a，b）在y=lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是（ ）A．（） B．（10a，1﹣b） C．（，b+1） D．（a2，2b）【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】由已知中点（a，b）在y=lgx图象上，a≠1，我们易得b=lgx，根据对数的运算性质我们逐一将四个答案中的x代入，计算出对应的y值，即可得到答案．【解答】解：∵点（a，b）在y=lgx图象上，a≠1，∴b=lga，则lg=﹣b，故A不正确；lg（10a）=1+b，故B不正确；lg=1﹣b，故C不正确；lg（a2）=2b，故D正确；故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，其中根据对数的运算性质我们逐一将四个答案中的x代入，计算出对应的y值，是解答本题的关键．6．（5分）（2011•安徽）设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（ ）A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣1【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】根据已知中的约束条件，画出满足的平面区域，并画出满足条件的可行域，由图我们易求出平面区域的各角点的坐标，将角点坐标代入目标函数易判断出目标函数x+2y的最大值和最小值．【解答】解：满足的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2故选B【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答线性规划类小题的关键．7．（5分）（2011•安徽）若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=（ ）A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解．【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3∴a1+a2+…+a10=5×3=15故选A．【点评】本题主要考查了数列求和．对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，找出规律．8．（5分）（2011•安徽）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．48 B．32+8C．48+8D．80【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由已知中的三视图我们可以得到该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，根据三视图中标识的数据，我们分别求出四棱柱的底面积和侧面积即可得到答案．【解答】解：如图所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱，其底面上底长为2，下底长为4，高为4，故底面积S底=×（2+4）×4=12腰长为：=则底面周长为：2+4+2×=6+2则其侧面积S侧=4×（6+2）=24+8则该几何体的表面积为S=2×S底+S侧=2×12+24+8=48+8故选C．【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图及标识的数据，判断出几何体的形状，并求出相应棱长及高是解答本题的关键．9．（5分）（2011•安徽）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．【解答】解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知，它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于故选D．【点评】本题考查古典概型、组合数运算，考查运算能力．10．（5分）（2011•安徽）函数f（x）=ax n（1﹣x）2在区间（0，1）上的图象如图所示，则n可能是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】先从图象上得出原函数的最值（极值）点小于0.5，再把答案分别代入验证法看哪个选项符合要求来找答案即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的最值（极值）点小于0.5．当n=1时，f（x）=ax（1﹣x）2=a（x3﹣2x2+x），所以f′（x）=a（3x ﹣1）（x﹣1），令f′（x）=0⇒x=，x=1，即函数在x=处有最值，故A正确；当n=2时，f（x）=ax2（1﹣x）2=a（x4﹣2x3+x2），有f′（x）=a（4x3﹣6x2+2x）=2ax（2x﹣1）（x﹣1），令f′（x）=0⇒x=0，x=，x=1，即函数在x=处有最值，故B错误；当n=3时，f（x）=ax3（1﹣x）2，有f′（x）=ax2（x﹣1）（5x﹣3），令f′（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故C错误．当n=4时，f（x）=ax4（1﹣x）2，有f′（x）=2x3（3x﹣2）（x﹣1），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故D错误．故选：A．【点评】本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步：①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．　二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2011•安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x．则f（1）=　﹣3　．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】将x≤0的解析式中的x用﹣1代替，求出f（﹣1）；利用奇函数的定义得到f（﹣1）与f（1）的关系，求出f（1）．【解答】解：∵f（﹣1）=2+1=3∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣1）=﹣f（1）∴f（1）=﹣3故答案为：﹣3．【点评】本题考查奇函数的定义：对任意的x都有f（﹣x）=﹣f（x）．　12．（5分）（2011•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是　15　．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算I值，并输出满足条件I＞105的第一个k值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量k的值的变化情况进行分析，不难得出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：k I 是否继续循环循环前 0 0 是第一圈 1 1 是第二圈 2 1+2 是第三圈 3 1+2+3 是第四圈 4 1+2+3+4 是依此类推第十六圈 15 1+2+3+…+15＞105 否故最后输出的k值为：15，故答案为：15．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，再分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．　13．（5分）（2011•安徽）函数的定义域是　（﹣3，2）　．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：6﹣x﹣x2＞0即x2+x﹣6＜0解得：﹣3＜x＜2故函数的定义域是（﹣3，2）故答案为：（﹣3，2）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于x的不等式，是解答本题的关键．14．（5分）（2011•安徽）已知向量满足（+2）•（﹣）=﹣6，||=1，||=2，则与的夹角为　60°　．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题；压轴题．【分析】由已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，||=1，||=2，我们易求出的值，代入cosθ=，即可求出与的夹角．【解答】解：∵（+2）•（﹣）=2﹣22+•=1﹣8+•=﹣6∴•=1∴cosθ==又∵0°≤θ≤90°∴θ=60°故答案为60°或者．【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中求夹角的公式cosθ=要熟练掌握．15．（5分）（2011•安徽）设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则①f（）=0．②|f（）|＜|f（）|．③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．⑤存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是　①，③　写出正确结论的编号）．【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．【解答】解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=∵∴（k为整数）∴∴=对于=0，故①对对于②，，故②错对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对对于⑤∵要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|，此时平方得b2＞a2+b2这不可能，矛盾，故∴不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤错故答案为①③【点评】本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2011•安徽）在△ABC中，a，b，c，分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos（B+C）=0，求边BC上的高．【考点】正弦定理的应用；正弦定理．【专题】计算题．【分析】利用三角形的内角和180°，1+2cos（B+C）=0，求出A的正弦值，利用正弦定理，求出B的正弦值，然后求出C的正弦值，即可求出边BC上的高．【解答】解：由1+2cos（B+C）=0，和A+B+C=180°所以cosA=，sinA=，由正弦定理得：sinB==由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜90°．从而cosB==由上述结果知sinC=sin（A+B）=，设边BC上的高为h则有h=bsinC=【点评】本题是基础题，考查三角形的内角和，正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，常考题型．17．（13分）（2011•安徽）设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x﹣1，其中实数k1，k2满足k1k2+2=0（1）证明l1与l2相交；（2）证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上．【考点】两条直线的交点坐标；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）用反证法，假设两条直线平行，则据斜率相同得到与已知矛盾的结论，即可得证．（2）将两直线方程联立，求出交点坐标，利用已知条件，将交点坐标代入椭圆方程左侧，若满足方程，则得到证明点在线上．【解答】解：（1）假设两条直线平行，则k1=k2∴k1•k2+2=k12+2=0无意义，矛盾，所以k1≠k2，两直线不平行，故l1与l2相交．（2）由得，又∵k1•k2+2=0∴2x2+y2===1故l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上．【点评】本题考查利用反证法证明命题、考查通过解两条直线方程构成的方程组求出两条直线的交点的坐标．18．（13分）（2011•安徽）设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）首先对f（x）求导，将a=代入，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可．（Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可．【解答】解：对f（x）求导得f′（x ）=e x …①（Ⅰ）当a=时，若f′（x ）=0，则4x 2﹣8x+3=0，解得结合①，可知x（﹣∞，）（，）（，+∞）f′（x ）+0﹣0+f （x ）增极大值减极小值增所以，是极小值点，是极大值点．（Ⅱ）若f （x ）为R 上的单调函数，则f′（x ）在R 上不变号，结合①与条件a ＞0知ax 2﹣2ax+1≥0在R 上恒成立，因此△=4a 2﹣4a=4a （a ﹣1）≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a≤1．【点评】本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解．19．（13分）（2011•安徽）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA=1，OD=2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形（I）证明直线BC∥EF；（II）求棱锥F﹣OBED的体积．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题．【分析】（I）利用同位角相等，两直线平行得到OB∥DE；OB=，得到B是GE的中点；同理C是FG的中点；利用三角形的中位线平行于底边，得证．（II）利用三角形的面积公式求出底面分成的两个三角形的面积，求出底面的面积；利用两个平面垂直的性质找到高，求出高的值；利用棱锥的体积公式求出四棱锥的体积．【解答】解：（I）证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB=同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2，又由于G 与G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合，在△GED和△GFD中，由和可知B，C分别是GE，GF的中点，所以BC是△GFE的中位线，故BC∥EF（II）解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知而△OED是边长为2的正三角形，故所以过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q．由平面ABED⊥平面ACFD，FQ就是四棱锥F﹣OBED的高，且FQ=，所以另外本题还可以用向量法解答，同学们可参考图片，自行解一下，解法略．【点评】本题考查证明两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行、三角形的中位线平行于底边、考查平面垂直的性质定理、棱锥的体积公式．20．（10分）（2011•安徽）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20022004200620082010需求量（万236246257276286吨）（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=bx+a；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．【考点】回归分析．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）粗略的检验一下，表格中所给的两个量之间不是线性回归关系，把这对数字进行整理，同时减去这组数据的中位数，做出平均数，利用最小二乘法做出b，a，写出线性回归方程．（II）把所给的x的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果．【解答】解：（I）根据所给的表格可知，用年份减去2006，得到﹣4，﹣2，0，2，4需求量都减去257，得到﹣21，﹣11，0，19，29，这样对应的年份和需求量之间是一个线性关系，=0，=3.2b==6.5．a=3.2﹣0×6.5=3.2，∴线性回归方程是﹣257=6.5（﹣2006）+3.2即y=6.5x﹣12778.8（II）当x=2012时，y=6.5（2012﹣2006）+260.2=299.2，即预测该地2012年的粮食需求量是299.2（万吨）【点评】本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查回归方程的意义和求法，考查数据处理的基本方法和能力，考查利用统计思想解决实际问题的能力．21．（13分）（2011•安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n•tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；数列与三角函数的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故T n=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{a n}的通项公式；（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{b n}的每一项拆成的形式，进而得到结论．【解答】解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，又∵这n+2个数的乘积计作T n，∴T n=10n+2又∵a n=lgT n，∴a n=lg10n+2=n+2，n≥1．（II）∵b n=tana n•tana n+1=tan（n+2）•tan（n+3）=，∴S n=b1+b2+…+b n=[]+[]+…+[]=【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键．。