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考研数学三历年真题及解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则 221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C) 若lim →∞=n n x a ,则 331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确; D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件,拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点,根据拐点的定义,即凹凸性改变的点;二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知,拐点个数为2,故选C.(3) 设 (){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则(),d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)()()2cos 2sin 4204d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰ (B)()()2sin 2cos 420004d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰()f x ''()0f x ''=()y f x =()f x ''(C) ()1012d ,d xxf x y y ⎰⎰(D) ()102d ,d xxf x y y ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得,在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以,故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A) 13n n n∞=∑ (B)1)n n ∞=+∑(C) 2(1)1ln n n n ∞=-+∑ (D)1!n n n n∞=∑ 【答案】(C)【解析】A 为正项级数,因为,所以根据正项级数的比值判别法收敛;B,根据级数收敛准则,知收敛;C ,,根据莱布尼茨判别法知收敛, 发散,所以根据级数收敛定义知,发散;D 为正项级数,因为,所以根据正项级数的比值判别法收敛,所以选C.1(,)0,02sin 4D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2(,),02cos 42D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2sin 2cos 4204(,)(cos ,sin )(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰11113lim lim 1333n n n nn n n n +→∞→∞++==<13nn n∞=∑3211)n n +:P 11)n n ∞=+111(1)1(1)1ln ln ln n n n n n n n n ∞∞∞===-+-=+∑∑∑1(1)ln nn n∞=-∑11ln n n ∞=∑1(1)1ln n n n ∞=-+∑11(1)!(1)!1(1)lim lim lim 1!!(1)1nn n n n n n nn n n n n n n n n e n ++→∞→∞→∞+++⎛⎫===< ⎪++⎝⎭1!n n n n ∞=∑(5)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=,则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,由()(,)3r A r A b =<,故1a =或2a =,同时1d =或2d =.故选(D ) (6) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-,其中123(,,)=P e e e ,若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++ 【答案】(A)【解析】由x Py =,故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.又因为100001010Q P PC ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选(A )(7) 若,A B 为任意两个随机事件,则: ( ) (A)()()()≤P AB P A P B (B)()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2+≤P A P B P AB (D) ()()()2+≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂,按概率的基本性质,我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤,从而()()()2P A P B P AB +≤≤,选(C) .(8) 设总体()~,,X B m θ12,,,n X X X K 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均值,则()21ni i E X X=⎡⎤∑-=⎢⎥⎣⎦( ) (A) ()()11θθ--m n (B)()()11θθ--m n (C)()()()111θθ---m n (D)()1θθ-mn 【答案】(B)【解析】根据样本方差2211()1ni i S X X n ==--∑的性质2()()E S D X =,而()(1)D X m θθ=-,从而221[()](1)()(1)(1)ni i E X X n E S m n θθ=-=-=--∑,选(B) .二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9) 20ln(cos )lim__________.x x x→= 【答案】 【解析】原极限(10)设函数()f x 连续,2()()d ,x x xf t t ϕ=⎰若(1)1,(1)5,ϕϕ'==则(1)________.f =【答案】【解析】因为连续,所以可导,所以;因为,所以12-2200ln(1cos 1)cos 11limlim 2x x x x x x →→+--===-2()f x ()x ϕ2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰(1)1ϕ=1(1)()1f t dt ϕ==⎰又因为,所以故(11)若函数(,)z z x y =由方程23e1x y zxyz +++=确定,则(0,0)d _________.z=【答案】 【解析】当,时带入,得.对求微分,得把,,代入上式,得 所以 (12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解,且在0x =处取得极值3,则()________.y x =【答案】【解析】的特征方程为,特征根为,,所以该齐次微分方程的通解为,因为可导,所以为驻点,即,,所以,,故(13)设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-,2,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵,则行列式________.=B【答案】 21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.(14)设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ,则(1)5ϕ'=1(1)()2(1)5f t dt f ϕ'=+=⎰(1)2f =1233dx dy --0x =0y =231x y ze xyz +++=0z =231x y zexyz +++=2323()(23)()x y z x y z d e xyz e d x y z d xyz +++++=+++23(23)x y z e dx dy dz yzdx xzdy xydz ++=+++++0=0x =0y =0z =230dx dy dz ++=(0,0)1233dz dx dy =--2()2xx y x ee -=+20y y y '''+-=220λλ+-=2λ=-1λ=212()xx y x C eC e -=+()y x 0x =(0)3y =(0)0y '=11C =22C =2()2x x y x e e -=+{0}_________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知,~(1,1),~(0,1)X N Y N ,而且X Y 、相互独立,从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)设函数3()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x c kx =+++==.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小,求,,a b k 的值.【答案】 111,,23a b k --=-==【解析】法一:因为,, 则有,, 可得:,所以,.法二: 由已知可得得由分母,得分子,求得233ln(1)()23x x x x o x +=-++33sin ()3!x x x o x =-+23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩300sin )1ln(lim )()(lim1kxxbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11lim kxx bx x b x ax ++++=→03lim 2=→kx x )cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a xc ;于是由分母,得分子,求得; 进一步,b 值代入原式,求得(16)(本题满分10 分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰,其中222{(,)2,}.D x y x y y x =+≤≥ 【答案】245π-【解析】)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→)(x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim223cos )1(sin )1(limkx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→06lim 0=→kx x ]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x 21-=b )()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→k xx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=.31-=k 2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设Q 为该商品的需求量,P 为价格,MC 为边际成本,η为需求弹性(0)η>.(I) 证明定价模型为11MCP η=-; (II) 若该商品的成本函数为2()1600C Q Q =+,需求函数为40Q P =-,试由(I )中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略(II) .【解析】(I)由于利润函数,两边对求导,得. 当且仅当时,利润最大,又由于,所以, 故当时,利润最大. (II)由于,则代入(I)中的定价模型,得,从而解得.(18)(本题满分10 分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零,若对任意的0x I ∈,曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4,且(0)2f =,求()f x 表达式.【答案】()84f x x=-12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰30P =()()()()L Q R Q C Q PQ C Q =-=-Q ()dL dP dP P Q C Q P Q MC dQ dQ dQ'=+-=+-0dL dQ =()L Q P dQ Q dPη=-⋅1dP PdQ Q η=-⋅11MCP η=-()22(40)MC C Q Q P '===-40P dQ P Q dP Pη=-⋅=-2(40)401P P P P-=--30P =【解析】曲线的切线方程为,切线与轴的交点为故面积为:. 故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,解得,又由于,带入可得,从而 (19)(本题满分 10分)(I )设函数(),()u x v x 可导,利用导数定义证明[()()]()()()();u x v x u x v x u x v x '''=+ (II )设函数12(),(),,()n u x u x u x L 可导,12()()()()n f x u x u x u x =L ,写出()f x 的求导公式.【答案】【解析】(I )(II )由题意得(20) (本题满分 11分)设矩阵101101a a a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A =,且3=A O .(I) 求a 的值;()()()000y f x f x x x '-=-x ()()000,0f x x f x ⎛⎫- ⎪ ⎪'⎝⎭()()200142f x S f x =='()f x ()()28f x f x '=()8f x x C -=+()0=2f 4C =-()84f x x=-12()[()()()]n f x u x u x u x ''=L 121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++L L L L 0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()limh u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+12()[()()()]n f x u x u x u x ''=L 121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++L L L L(II)若矩阵X 满足22--+=X XA AX AXA E ,其中E 为3阶单位矩阵,求X .【答案】3120,111211a X -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】(I)323100100111100011a A O A a a a a a aaa=⇒=⇒-=--==⇒=-(II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E A E X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=--2011111112E A A -⎛⎫⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭,011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭MM M M M M 111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M 110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M 312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值;(II )求可逆矩阵P ,使1-P AP 为对角矩阵.【答案】2314,5,101011a b P --⎛⎫ ⎪===- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(1) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b 023100123133010123123001123---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E C()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ,1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,00,0xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩,对X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y 为观测次数(I)求Y 的概率分布; (II)求()E Y .【答案】(I)12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()(),23,,n =L ; (II)16E Y =().【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率,则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰,从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()(),23,,n =L 为Y 的概率分布; (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生,N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,),N Ge k n p -(,):(注:Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑,则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()(),12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑, 2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑,所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--, 从而7168E Y S ==()(). (23) (本题满分11 分)设总体X 的概率密度为,1,(,),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩110其他,其中θ为未知参数,12n X ,X ,,X L 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量; (II)求θ的最大似然估计量.【答案】(I)$1121ni i X X X n θ==-=∑, ;(II)$12nX X X θ=min{,,,}L . 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰, 令()E X X =,即12X θ+=,解得$1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量 ;(II)似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他, 当1i x θ≤≤时,11111()()nni L θθθ===--∏,则1ln ()ln()L n θθ=--.从而1ln ()d L nd θθθ=-,关于θ单调增加,所以$12nX X X θ=min{,,,}L 为θ的最大似然估计量.。

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