一 二维形式的柯西不等式 二 一般形式的柯西不等式
一览众山小
诱学·导入
材料：柯西不等式
∑∑==n
i i
n
i i b
a 1
2
1
2≥(
∑=n
i i i b a 1
)
2
是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”
问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.
问题：为何要将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容？
导入：柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用.向量形式|α||β|≥|α·β|不仅直观地反映了这一不等式的本质，而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间内在地联系在一起；一般形式
∑∑==n
i i
n i i b
a 1
2
1
2≥(
∑=n
i i
i b
a 1
)2有一个推广形式:(a 1p +a 2p +…
+a np )p
1(b 1q +b 2q +…+b n q )
q
1≥a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n (
q
p 1
1+=1)（该不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当p=q=2时，即为柯西不等式），是数学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式
∑∑∑===+≥
+
n
i i i
n
i i
n
i i
y x
y
x
1
21
21
2)(（闵
可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.所以将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容，正是看中它的这一数学背景. 温故·知新
1.我们知道绝对值|a|有着很明确的几何意义，即数轴上坐标为a 的点到原点的距离.那么不等式|x-c|+|x-b|≥a 的几何意义是什么呢？ 答：不等式|x-c|+|x-b|≥a 的解可以直接理解为数轴上满足到坐标为c 的点的距离与到坐标为b 的点的距离之和大于等于a 的点的坐标，而上述距离之和的最小值显然为|b-c|（在c ，b 之间的点取到），因此，不等式的解取决于|b-c|与a 的大小关系.用类似的方法也不难证明|a-b|≤|a -c|+|c-b|，实际上只需要注意到a ，b ，c 在数轴上的位置关系即可.利用绝对值的几何意义，可以很好地证明和求解一些基本的含绝对值的不等式.
2.任意两个向量α,β的夹角<α,β>的余弦值是什么？ 答：任意两个向量α，β的夹角<α,β>的余弦cos<α,β>=|
|||βαβ
α••.。