安徽省合肥市2020届高三高考数学（文科）三模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题3}，集合B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A.（﹣2，2）B.（﹣1，2）C.（﹣2，3）D.（﹣1，3）2.已知i 是虚数单位，则复数121iz i-=+在复平面上所对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（ ） A.16B.13C.12D.234.若,x y R ∈，则22x y >是1xy>成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数()11()xxa a f x a =->，则不等式()()2210f x f x +->的解集是（ ） A.1(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B.1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭6.已知向量a →，b →满足|||2|a b a b →→→→+=-，其中b →是单位向量，则a →在b →方向上的投影是（ ） A.1B.34C.12D.147.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（ ）A.10101010887⨯-斗 B.9101010887⨯-斗 C.8101010887⨯-斗 D.91070881⨯-斗 8.在△ABC 中，若11112sin sin tan tan ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭A B A B ，则（ ） A.C 的最大值为3π B.C 的最大值为23π C.C 的最小值为3π D.C 的最小值为6π 9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（ ）A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则4AF BF +的最小值为（ ）A.4B.8C.9D.1211.点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面DCC 1D 1内的一个动点，若△APD 与△BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是（ ） A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分12.若关于x 的不等式（a +2）x ≤x 2+a ln x 在区间[1e，e ]（e 为自然对数的底数）上有实数解，则实数a 的最大值是（ ） A.﹣1B.12(1)-+e e e C.(3)1--e e e D.(2)1--e e e 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.设函数()()222,5,x e x ef x log x x e ⎧<⎪=⎨-⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则f （f （3））的值等于_____．14.某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16.已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AA 1＝2，AD ＝3，点E ，F 分别为棱BC ，CC 1上的动点．若四面体A 1B 1EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）①存在点E ，使得1EF A F ⊥； ②不存在点E ，使得11B E A F ⊥；③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个； ④当点F 为CC 1中点时，满足条件的点E 有3个；⑤四面体A1B1EF四个面所在平面，有4对相互垂直．三、解答题（题型注释）“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：（1）在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？ 18.如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，且11//BC B C ，112BC B C =,11AC =．（1）求证：11//A B 平面ABC ；（2）求多面体111ABC A B C -的体积V ．19.已知函数())0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0,π上的值域.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：24x +y 2＝1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．21.已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ，g （x ）＝ax （e 为自然对数的底数），其中a ∈R ． （1）试讨论函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的单调性；（2）当a ＝2时，记函数f （x ），g （x ）的图象分别为曲线C 1，C 2．在C 2上取点P n （x n ，y n ）作x 轴的垂线交C 1于Q n ，再过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n +1（x n +1，y n +1）（n ∈N *），且x 1＝1． ①用x n 表示x n +1；②设数列{x n }和{ln x n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求证：S n ﹣T n +1＞n ln2．22.在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点．（1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23.已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1.B【解析】1.直接用交集运算求解.作示意图如图所示：则(1,2)A B=-.故选：B.2.C【解析】2.利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，从而可得结果.由于复数()()()()12112131112i ii izi i i-----===++-，在复平面的对应点坐标为13,22⎛⎫--⎪⎝⎭.∴在第三象限. 故选：C.3.B【解析】3.基本事件总数336n A==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数111 2112m C C C==,由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率.由题意，基本事件总数336n A==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数1112112m C C C==，∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为2163mPn===,故选：B 4.B【解析】4. 根据()100x x y y x y y y->⇔>⇔->，解出不等式可得：22x y >成立；反之，举例可知不成立． 由于()0,1000y x x y y x y x y y y >⎧->⇔>⇔->⇔⎨->⎩或00y x y <⎧⎨-<⎩， 所以22x y >， 反之不成立， 例如2,1x y ==-，满足22x y >，而1xy >不成立． 所以22x y >是1xy>成立的必要不充分条件． 故选：B ． 5.D【解析】5.首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式，求得不等式的解集.()f x 的定义域为R ，且()()1x xf x a f x a -=-=-，所以()f x 为奇函数， 由于1a >，所以()f x 在R 上递减. 由()()2210f xf x +->，得()()()2211f x f x f x >--=-，所以221x x <-，()()2212110x x x x +-=-+<，解得112x -<<.所以不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D 6.C【解析】6.由条件|||2|a b a b →→→→+=-平方求出a b →→⋅，利用向量在向量上的投影公式计算即可.|||2|a b a b →→→→+=-，222a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎭⎝-⎪⎝⎭+，2222244a a b b a a b b ∴+⋅+=-⋅+，b →是单位向量，12a b →→∴⋅=， a →∴在b →方向上的投影为12||a bb →→→⋅=， 故选：C 7.B【解析】7.直接根据等比数列的求和公式求解即可． 由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10 项和为10； 设首项为a ；则1071810718a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭-； ∴910101010110108878718a ⨯⨯==--. 故选：B ． 8.A【解析】8. 由商数关系，可得11cos cos 2 sin sin sin sin A B A B A B ⎛⎫⎪⎝++⎭=，结合辅助角公式，化简整理为sin sin 2sin B A C +=，于是2b a c +=，由均值不等式可知，()224a b ab c +≤=，由余弦定理知，222cos 2a b c C ab+-=，将所得结论代入进行运算可得1cos 2C ≥，结合三角形内角关系，即可求解． 由题可知，1111cos cos 22sin sin tan tan sin sin A B A B A B A B ⎛⎫+=+=⎛⎫⎪⎝+ ⎪⎝⎭⎭，所以()()sin sin 2sin cos cos sin 2sin 2sin B A B A B A A B C +=+=+=， 由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==，所以2b a c +=， 由均值不等式可知，()224a b ab c +≤=，由余弦定理知，222222232331cos 1122222a b c c ab c c C ab ab ab c +--===-≥-=，因为()0,C π∈，所以03C π<≤，即C 的最大值为3π． 故选：A ． 9.D【解析】9.先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可.3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故9.03349982.480.04v ⨯=≈米/小时350km /h ≈，故选：D 10.C【解析】10.当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，从而可得121x x ==，利用焦点弦公式求出4AF BF +；当直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 方程：()1y k x =-，将直线方程与抛物线方程联立，可得121=x x ，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解. 由题意可知1212444522p p AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭， 当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，所以121x x ==，即410AF BF +=；当直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 方程：()1y k x =-， 则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，整理可得()222240k x k x k -++=，所以121=x x ，所以122214454559AF BF x x x x +=++=++≥=， 当且仅当211,22x x ==时，取等号， 故4AF BF +的最小值为9. 故选：C 11.A【解析】11.根据题意得，动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离；根据面积比转化为高的比，建立平面直角坐标系求解即可得到结论．由题意得，若APD △与BCP 的面积之比等于2， 因为两个三角形的底相等；故对应的高之比为2:1；动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离．即2PD PC =；建立如图所示的坐标系，则()()0,0,,0C D a ，设(),P x y ，故()222PD PC =；()()22224x a y x y ∴-+=+；2223230x ax y a ∴++-=；故点P 的轨迹是圆的一部分． 故选：A ． 12.D【解析】12.先对2(2)ln a x x a x +≤+化简，2(ln )2a x x x x -≤-，用导数判断ln x x -在x ∈1[,]e e的符号为正，可转化为22ln -≤-x x a x x，在x ∈1[,]e e 有解，设()f x = 22ln x xx x --，利用导数求函数()f x 的最大值max ()f x ，则a max ()f x ≤，即实数a 的最大值为max ()f x .由2(2)ln a x x a x +≤+，得2(ln )2a x x x x -≤-，令()g x = ln x x -，x ∈1[,]e e ，则1()1g x x '=-，则()g x 在1[,1)e递减，在(1,]e 递增，则()(1)10g x g ≥=>， 即由2(ln )2a x x x x -≤-，得22ln -≤-x x a x x ，x ∈1[,]e e 有解， 设()f x = 22ln x x x x--，x ∈1[,]e e ， 则()f x '=221(22)(ln )(1)(2)(ln )x x x x x xx x ------2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+-=-， 令()22ln u x x x =+-，x ∈1[,]e e ，则2()1u x x'=-，故()u x 在1[,2)e递减，在(2,]e 递增，故()(2)42ln 20u x u ≥=->，故()f x 在1[,1)e 递减，在(1,]e 递增，又1()f e =2120e e e -<+，22()1e ef e e -=-0>， 故2max2()()1e e f x f e e -==-，故a ≤221e ee --， 即实数a 的最大值为221e ee --. 故选：D. 13.2e 2【解析】13.直接根据分段函数解析式计算可得；解：因为()222,()105,x e x ef xg x x e⎧<⎪=⎨-⎪⎩ 所以()()223log 352f =-=，所以()()()2322ff f e==故答案为：22e 14.480；【解析】14.根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =， 故答案为：480. 15.4【解析】15.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n n b -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论. 由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式， 故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立， 所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 16.①②④【解析】16.①②利用假设存在，推出条件正确，推出矛盾，则不存在；③④建立空间坐标系，利用已知条件设1,BE m C F n ==，写坐标，利用垂直关系，求出,m n 的值，即可得出结论；⑤利用线面垂直推面面垂直关系即可得出结论.由题意知11A B ⊥面1B EF ，则11111111,,A B B E A B B F A B EF ⊥⊥⊥， 则1111,A B E A B F 为直角三角形，在1B EF 中，由题意知1B E 不能垂直1B F ， 又1B EF 为直角三角形，则190B EF ∠=︒或190B FE ∠=︒； ①假设存在点E ，使得1EF A F ⊥， 又111111,A B EF A B A F A ⊥=，则EF ⊥面11A B F ，即EF ⊥1B F ，满足题意，①正确； ②假设存在点E ，使得11B E A F ⊥， 又111A B B E ⊥，1111A B A F A =，则1B E ⊥面11A B F ，则11B E B F ⊥这与1B E 不能垂直1B F 矛盾， 所以不存在点E ，使得11B E A F ⊥，②正确；③建立如图所示的空间坐标系，设1,BE m C F n ==，则03m <<，02n <<，由题意得()()130,0,0,2,,0,,3,02B E F n ⎛⎫⎪⎝⎭，()132,,0,,3,02EF n B F n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,若EF ⊥1B F ，则10EF B F =， 即()9202n n -+=，整理得：22490n n -+=， ∆<0，所以方程无实根；③不正确.④()()()10,0,0,2,,0,1,3,0B E m F ，()()()111,3,0,1,3,0,2,,0EF m B F B E m =--==， 若EF ⊥1B F ，则10EF B F =，则()81330,3m m -+-==， 若EF ⊥1B E ，则10EF B E =， 则()230,1m m m -+-==或2m =， 故④正确；⑤由题意知11A B ⊥面1B EF ，若EF ⊥面11A B E ，由图形观察可知：有3对相互垂直，分别为面11A B E ⊥面1B EF ，面11A B F ⊥面1B EF ，面11A B E ⊥面1A EF .则⑤不正确. 故答案为：①②④. 17.（1）1415；（2）27【解析】17.（1）先根据频率分布直方图求出各组的频率，列表表示，再由空气质量等级是优或良，则空气质量指数为(0,100]，求出概率；（2）由（1）中频率表，计算空气质量指数高于90的频率，求出频数. （1）由频率分布直方图，列出分组和对应的频率：由130151030m ++++=，得15m =，空气质量等级是优或良，则空气质量分数为(0,100]， 故P =114130215m --=，即估计一天空气质量等级是优或良的概率为1415. （2）由空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动， 则适宜进行户外体育运动的天数为130(1)2730m ⨯--=天. 18.（1）证明见详解；（2）52.【解析】18.（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面//ABC 面111A B C ，即可得出结论；（2）利用已知条件分别求出三棱锥111B A B C -和四棱锥11B A ACC -的体积，相加即为多面体111ABC A B C -的体积.（1）四边形11A ACC 是菱形，∴11//AC A C ，又AC ⊂面ABC ,11A C ⊄面ABC ，11//A C 面ABC ,同理得，11//B C 面ABC ，1111,AC B C ⊂面111A B C ，且11111AC B C C =，∴面//ABC 面111A B C ，又11A B ⊂面111A B C ，11//A B ∴平面ABC ；（2）1111111//,//,60AC AC BC B C AC B ACB ∴∠=∠=︒，11112,22AC AC B C BC ====，1111122A B C S=⨯⨯=在菱形11A ACC 中，113AC =，160ACC ∴∠=︒，11222A ACC S=⨯⨯=面ABC ⊥面1ACC ，取AC 的中点M ，连接1,BM C M ，∴BM ⊥面1ACC ，1C M ⊥面ABC ，由（1）知，面//ABC 面111A B C ，∴ 点B 到面111A B C 的距离为1C M =又点B 到面11A ACC 的距离为BM =，连接1BC ，则111111532B A B C B A ACC V V V --=+=⨯=⎝.19.（1）()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭；（2）⎡-⎣.【解析】19.（1）由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω、ϕ的值，可得()f x 得解析式．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出函数()g x 在区间[0，]π上的值域．解：（1）由图象可得()01f =-可得sin 2ϕ=-，又||2ϕπ<，故4πϕ=-，又08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故84k ωπππ⨯-=即82k ω=+，其中k ∈N . 因为()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故82T π≤即4T π≥，所以08ω<≤，所以2ω=，故()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭.（2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的解析式为24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]0,x π∈时，5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故sin 42x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故()g x 的值域为⎡-⎣.20.（1）证明见解析；（2）证明见解析，椭圆的方程为2241x y +=.【解析】20.（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，再将PA PB k k ⋅表示出来，根据,A B 在椭圆上化简，证得直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，再得到AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，得证.（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --， 则PA PBk k ⋅2212122122121221y y y y y y x x x x x x ----=⋅=----， 又222214x y +=，221114x y +=，相减得222221211()4y y x x -=--， 得PA PB k k ⋅14=-，即直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值，定值为14-. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=， 得1230x x x ++=，1230y y y ++=， AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --， 又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，即△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，这个椭圆的方程为2241x y +=.21.（1）当2a ≤时，()F x 在R 上递增；当2a >时，()F x在(,ln -∞，)+∞上递增，在(ln 上递减.（2）①11()2nn x x n x e e -+=-；②证明见解析.【解析】21.（1）求出21()1()x x xx xe ae F x e a e e-+'=+-=，先讨论当0a ≤时，()0F x '>，得到单调性，令x t e =(0)t >，2()1u t t at =-+，则24(2)(2)a a a ∆=-=-+，再分02a <≤和2a >判断导函数()F x '的符号，得到单调性，综合并下结论；（2）①根据点n P ，求得点n Q ，再得到1n P +，从而得到n x 与1n x +的关系；②可用数学归纳法证明，递推时，用到数列前n 项和和通项公式的关系，并分析两边从*,n k k N =∈到1n k =+时，分析左右的特点，证得不等式.（1）()xxF x e eax -=--，则21()1()x x xx xe ae F x e a e e -+'=+-=，令x t e =(0)t >，2()1u t t at =-+，则24(2)(2)a a a ∆=-=-+，当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在R 上递增；当02a <≤时，0∆≤，则()0u t ≥，则()0F x '≥，()F x 在R 上递增；当2a >时，当2(0,(,)22a a a t -+∈+∞时，()0u t >，即24ln2aa x 或24ln2aa x 时，()0F x '>；()F x 在(,ln 2a --∞，(ln ,)2a ++∞上递增；当(22a a t -+∈时，()0u t <，即x ∈(ln ,(ln 22a a -+时，'()0F x <；()F x 在(ln )22a a -+上递减；综上可得，当2a ≤时，()F x 在R 上递增；当2a >时，()F x 在(,ln -∞，)+∞上递增，在(ln 上递减.（2）①由题(,2)n n n P x x ，又n x xx x y e e-=⎧⎨=-⎩，得(,)n nx x n n Q x e e --， 又过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n +1（x n +1，y n +1）， 则1nn x x n y ee -+=-12n x +=，得11()2nn x x n x e e -+=-. ②可用数学归纳法证明如下(i)当1n =时，111S x ==，2121ln ln ln 2e e T x x -=+=， 则左边12121ln ln ln 212e e e S T e e --=-=>-，即1n =时，不等式成立； (ii)假设n k =，*k N ∈时，不等式成立，即1ln 2k k S T k +->，则当1n k =+时，12k k S T ++-112()(ln )k n k k S x T x +++=+-+12ln 2ln k k k x x ++>+-， 又12ln k k x x ++-1112ln ln 2k k k x x x e e e+++-=>- 即12k k S T ++-12ln 2ln k k k x x ++>+-(1)ln 2k >+，即当1n k =+时，不等式也成立.综合(i) (ii)可知，证式成立.22.（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7【解析】22.（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=， 因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<） 所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα．由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．23.（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】23. （1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．。