第十三章 动能定理（Theorem of kinetic energy ）要求：1． 对功的概念有清晰的理解，能熟练计算重力、弹性力、力的功。
2． 能熟练计算平动刚体、定轴转动刚体、平面运动刚体的动能，重力和弹性力的势能。
3． 熟知何种约束力的功为零，何种内力的功之和为零。
4． 能熟练应用动能定理和机械能守恒定律解动力学问题。
5． 能熟练应用动力学基本定理解动力学的综合问题。
本章重点：1． 力的功和物体动能的计算。
2． 动能定理和机械能守恒定律的应用。
3． 综合应用动力学基本定理。
本章难点：综合应用动力学基本定理。
一 力的功1 作用在质点上的力的功：（1）常力沿直线作功：αcos ⋅⋅=⋅=S F S F W功是代数量，在国际单位制中，功的单位为N •m,称为焦耳（J ）（2）变力沿曲线作功：将曲线分为无限多个无限小的弧段，每一小段弧长为dS ，与它相对应的无限小位移为r d ，方向与切向单位矢量τ同向。
在每一小段弧上，变力F 可视为常力，于是力F 在无限小位移r d上的元功为a. ds F ds F r d F W ⋅=⋅⋅=⋅=ταδcos⎰⎰⋅=⋅=2121MMMM ds F r d F W τb 用解析式表示： k F j F i F F z y x ++= k d j d i d r d zy x++= dz F dy F dx F W z y x ⋅+⋅+⋅=∴δ ⎰++=21MM z y x dz F dy F dx F W2. 作用在质点系上力系的功：设质点系内任一质点i M 的作i i r F,和则力系()n F F F,,21的总元功等于力系中所有力的元功之和，力系的总功等于力系中所有力的总功之和。
即： ∑⋅=i i dr F W δ ∑⎰⋅=21i i M M i i r d F W3． 几种常见力的功：⑴ 重力功： 设有重为g m的质点M ，由()1111,,z y x M 处沿曲线移至()2222,,z y x M，此时质点的重力在坐标轴上的投影为：0=x F 0=y F mg F z -=∴质点的重力在曲线路程/上的功为： )(2121z z mg mgdz W z z -=-=⎰故重力的功仅与质点的重量及始末位置有关，而与路径无关。
（2）弹力功： 设原长为0r 的弹簧一端固定于点O ，另一端M 沿任一空间曲线由1M 运动至2M ，设弹簧的刚性系数为),/(m N c 在弹性范围内，弹性力rrr r c F ⋅--=)(0弹性力的元功r r d r r r c r d F W ⋅⋅--=⋅=)(0δ r d r r d r r d r d r ==⋅=⋅)2()2(2弹性力F在曲线路程/上的功为：)(2])()[(2)(2221202201021λλ-=---=--=⎰c r r r r c dr r r c W r r令,011r r -=λ 022r r -=λ分别表示弹簧在起点和终点的变形量。
⑶ 作用在转动刚体上力的功：设刚体可绕固定轴Z 转动，作用在转动刚体上力F可分解成相互正交的三个分力平行于轴Z 的轴向力z F ，沿半径的径向力r F，沿轨迹切线的切向力τF 。
当刚体有微小转角ϕd 时，力作用点的位移为τϕτ⋅⋅=⋅=d r ds r d ，ϕϕδτd F M d r F r d F W z ⋅=⋅⋅=⋅=∴)(⎰-=⋅=21)()(12ϕϕϕϕϕz z M d F M W⑷ 动摩擦力的功：设质量为m 的质点M 在粗糙面上运动，动摩擦力vvfF F N ⋅-=摩擦力的元功ds fF vr d v F f r d F W N N -=⋅⋅⋅-=⋅=δ∴摩擦力在曲线上的元功 ⎰⎰⋅-=⋅-=2121M M N M M N ds fF ds fF W可见动摩擦力的功恒为负值，它不仅取决于质点的始末位置，且与质点的运动路径有关。
特别地，若n F =常量时，,s fF W N ⋅-= s 为的曲线长度。
二 有势力，势力场，势能：势力场： 在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。
有势力（保守力 conservative force ）：质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。
势能：在势力场中, 质点从位置M 运动到任选位置M 0, 有势力所作的功称为质点在位置M 相对于位置M 0的势能，用V 表示。
1.重力场 质点：质点系：2. 弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点3. 万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置三．有势力的功在M 1位置 10101Wr d F V M M =⋅=⎰M 2位置：20202W r d F V M M =⋅=⎰M 1→M 2：21201012V V W W W -=-=有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。
四．质点系内力的功只要A 、B 两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零五．理想约束:约束力的元功的和等于零的约束称为理想约束 (1）光滑固定面（2）光滑铰链或轴承约束⎰++=⎰⋅=00M MM MZdzYdy Xdx r d F V Phz z P V ±=-=)(0hP z z P V C C ±=-=)(0221δk V =rm Gm V 21-=B A r d F r d F W ⋅+⋅='δB A r d F r d F ⋅-⋅=)(BA d F ⋅=（3）刚性连接的约束 （4）联结两个刚体的铰（5）柔性而不可伸长的绳索约束物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。
六．动能 （一）．质点的动能：瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位是J （二）．质点系的动能：对于任一质点系：（i v 为第i 个质点相对质心的速度）柯尼希定理刚体的动能：1．平动刚体22222121)(2121C i i i Mv Mv v m v m T ====∑∑2．定轴转动刚体222221)(2121ωωz i i i i I r m v m T =∑=∑= 3．平面运动刚体（P 为速度瞬心）七．动能定理 1． 质点动能定理 两边点乘以有()rd F dt v v m dtd⋅=⋅动能定理的微分形式：将上式沿路径弧21M M 积分，可得动能定理的积分形式221mv T =221ii v m T ∑=∑+=22'2121i i C v m Mv T 221ωP I T =2Md I I C P +=2222221 21)(2121ωωωC C C I v M d M I +=+=Fv m dtd F a m =⇒=)( )21()(2)(2mv d v v d m dt v v m dt d =⋅=⋅而dtv r d ⋅=Wmv d δ=)21(22． 质点系的动能定理对质点系中的一质点i M ：i i i W v m d δ=)21(2对整个质点系，有质点系动能定理的微分形式∑=i W dT δ将上式沿路径弧21M M积分，可得质点系动能定理的积分形式 在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式∑∑=-=)(12)( ; F F WT T WdT δ[例1] 图示系统中,均质圆盘A 、B 各重P ，半径均为R , 两盘中心线为水平线, 盘A 上作用矩为M (常量)的一力偶；重物D 重Q 。
问下落距离h 时重物的速度与加速度。
(绳重不计，绳不可伸长，盘B 作纯滚动，初始时系统静止)解：取系统为研究对象上式求导得：动能定理的应用:W mv mv =-21222121∑∑∑∑=⇒=ii i i i i W v m d W v m d δδ)21( )21(22∑=-iWT T 12)/( )(R h Qh m W F =+=∑ϕϕ01=T 222221 2121BC A O I v g Q I T ωω'++=)78(16232121221222222P Q gv R gP g Q g P B A +=++=ωω∑=-)(12F WT T 由PQ hg Q R M v h Q R MP Q g v 78)/(4 )(0)78162++=⇒+=-+)( )(21678dtdhv dt dh Q R M dt dv v g P Q =+=⋅+PQ gQ R M a 78)/(8++=1． 图示的均质杆OA 的质量为30kg ，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。
设弹簧常数k=3kN/m ，为使杆能由铅直位置OA 转到水平位置OA '，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：研究OA 杆)(212.12221)(δδ-+⋅=∑k P W F ])22.14.2(0[3000212.18.93022--⨯⨯+⨯⨯=, 8.284.2303121202021ωω=⨯⨯⨯=T 由02=T ∑=-)(12F W T T2． 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。
动齿轮半径r ,重P , 视为均质圆盘；曲柄重Q , 长l , 作用一力偶, 矩为M (常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角ϕ 的函数表示) 和角加速度.解：取整个系统为研究对象 根据动能定理，得PQ gM l9232+=ϕω对时间求导得2)92(6lP Q gM +=ε)J (4.388-=rad/s67.3 4.3888.280020=-=-ωω∑=ϕM W F )(01=T 21221222 2 2121321ωωg r P v g P g Ql T ⋅++=ωωωrl r v l v ===111 , 222222221292)( 4 )(26ωωωωl g P Q r l g r P l g P g Ql T +=++=ϕωM l gP Q =-+0129222八．机械能守恒定律 机械能：系统的动能与势能的代数和.设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力) 作用，则机械能守恒定律常量=+=+∴2211 V T V T 这样的系统称为保守系统。
[例1] 长为l ，质量为m 的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。
当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角q 和质心的位置表达）。
解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C 铅垂下降。
由于约束反力不作功, 主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。
初瞬时：mg l V T ⋅==2,011任一瞬时：222222212412121ym ml y m I T C +=+=θθ 由机械能守恒定律)2(2124120222y lmg y m ml mg l -++=+ θ将θθsin 2l y =代入上式，化简后得动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。