某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆 一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少， 并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并 获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告投入一定 的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因 子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见 表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销 战略预期的利润最大？
其次用MATLAB求解优化模型，因MATLAB中仅 能求极小值，为此将优化模型转化为
min( P) z (c dz ez 2 )(a bx)( x 2) s.t x 0, z 0
且x=5.9113，z=33113，函数P达到最大值16670。



第三节 多目标规划模型 在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇 到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的 最优问题 一、引例 例2.9 投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿 元的资金可用于投资，并有m个项目可供选择。如果 对第 i 个项目投资的话，需用资金 a i亿元，并可获得 收益ci亿元，试确定最佳投资方案。 解 所谓最佳投资方案系指：投资最少；收益最大。 若令目标函数为求：投资最少：收益最大.
干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一 个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi，并且 当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算 （不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款 利率是r0，且既无交易费又无风险（r0=5%）。 （1）已知n=4时的相关数据如下：
Si S1 S2 S3 S4 ri（%） 28 21 23 25 qi（%） 2.5 1.5 5.5 2.6 pi（%）
二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为
min f1 x , f 2 x ,
, f p x
T
gi x 0, i 1, 2,....., m s.t. h j x 0, j 1, 2,....., l
我们称它为多目标规划问题的数学模型。 当时所有目标函数都求最大值，只须注意，求一个函 数的最大值可以转化为求这个函数的负函数的最小值， 便知这时的数学模型可以转化为
第三节 非线性规划模型
在数学规划问题中，当目标函数或约束 函数中至少有一个是非线性函数时称这类问 题为非线性规划。 一、非线性规划的一般（标准）形式 n f , g i 1, , m , h j 1, , l R i j 设 均为 上 的实值函数
min NLP s.t. f x gi x 0, i 1, h j x 0, j 1, ,m ,l
P 收入 支出 销售收入 成本 广告费 sx 2 s z kxy 2ky z ky ( x 2) z ( c dz ez )(a bx)( x 2) z
2
我们期望利润P达到最大，即
2 P (c dz ez )(a bx)( x 2) z max x. z s.t x 0, z 0
min f1 x , f 2 x , , f p x
xR
T
投资的收益和风险
这是1998年全国大学生数学建模竞赛的A题，
问题如下：市场上有n种资产（股票、债券、…） Si（i=1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为 M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。 公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估 算出在这一时期内购买Si有平均收益率为ri，并预 测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散 总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若
由于目标函数不是线性函数，因此这一问题的数学 模型为有约束条件的非线性规划模型。在日常生活 中非线性规划问题要比线性规划问题普遍。 模型求解 首先利用Mathematica计算（1）（2）中的参数a， b，c，d，e，并画出散点图和拟合曲线。
图-3
图-4
即：
a 50422 .2, b 5133 .33 c 1.01875 , d 4.09226 105 , e 4.25595 1010
表1
售价（元） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 41000 38000 34000 32000 29000 28000 25000 22000 20000
表2
预期销售量（桶）
广告费（元） 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
销售增长因子 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80
符号说明及问题的分析
图1
图2
从图1和图2易见，售价x与预期销售量y近似于 一条直线，广告费 z 与销售增长因子k近似于一条 二次曲线。为此可令： y=a+bx k=c+dz+ez2 系数a，b，c，d，e是特定参数。 模型的建立 投入广告费后，实际销售量s等于预期销售量y乘 以销售增长因子k，即s=ky。所获得的利润。


若令

目标函数为求； m 投资最少： min f1 ai xi
i 1
1，对Ai投资 xi i 1, 2, 0，对Ai不投资
,m

收益最大：
约束函数为：
min f 2 ci xi
i 1
m

a x B,
i 1 i i
m
i 1, 2,...., m
试给该公司设计一种投资组合方案即用给定的资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净 收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 （2）试就一般情况对以上问题进行讨论，利用 以下数据进行计算。