一、建立递阶层次结构
层次分析一般把问题分为三层，各层间关系用线 层次分析一般把问题分为三层， 连接。第一层称为目标层，第二层为准则层，第三层 连接。第一层称为目标层，第二层为准则层， 叫做方案层。如果有次级标准还可以增加次准则层等。 叫做方案层。如果有次级标准还可以增加次准则层等。
例如，上面例子的递阶层次结构为： 例如，上面例子的递阶层次结构为：
层次分析法
(The Analytic Hierarchy process,简称 简称AHP) 简称 层次分析是一种决策分析的方法。它结合了 层次分析是一种决策分析的方法。 定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。 定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。
人们在日常生活和工作中， 人们在日常生活和工作中，常常会遇到在多种方案 中进行选择问题。 中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选 择；毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才；政府 毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才； 机构要作出未来发展规划； 机构要作出未来发展规划；厂长要选择未来产品发展方 向；科研人员要选择科研课题…… 科研人员要选择科研课题
1 7 2 A 如例1 ： 1 = 1 / 7 1 1 / 4 1 / 2 4 1 1 1 / 5 1 / 4 A3 = 5 1 1 / 2 4 2 1
1 1 / 7 1 / 6 A2 = 7 1 1 / 2 6 2 1 1 1 / 3 5 A4 = 3 1 7 1 / 5 1 / 7 1
（j = 1, 2,L , n)
1 k 权重取加权平均： a j = ∑ aij k i =1 即得权重集
A = (a1 , a2 ,L , an )
2. 频数统计法
设因素集U = {u1 , u2 ,L , un } k 个专家独立给出的因素ui的权重 （ai1 , ai 2 ,L , ain ) (i = 1, 2,L , k )
作单因素u j的权重统计: (1) 在每个专家所给出的u j的权重 a1 j a2 j M a kj 中找出最大值M j 和最小值m j j = 1, 2,L n)； （
（2）适当选择正整数p ( p为组数），由公式 M j − mj p 计算出组距，将权重由小到大分为p组；
3. 特征向量法
(1)计 (1)计算判断矩阵A的最大特征值λmax ;
(2)求A属于特征值λmax的正特征向量 （ 判 断 矩 阵的 分 量 全 大 于0 的 特 征 向量 ， 一 定 存 在！ ） 并 将 其 归 一化 ， 所 得 向 量即 为 权 重 （排 序 ） 向 量。
四、判 断矩阵 的一 致性检 验：
一 致性检 验的 步骤：
（1）计算判断矩阵的一致性指标CI : λmax − n CI = n−1
（2） 根据矩阵的阶数由下表查找平均随机一致性指标RI ;
n
RI
3 4 5 6 7 8 9 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
（3）计算一致性比例CR : CI CR = RI 若CR < 0.1, 认为A具有满意的一致性，接受A; 否则，放弃A或对A的数据做适当的调整。
旅游
———— 目标层
景色
住宿
费用
交通
———— 准则层
u1
u2
u3
———— 方案层
二、构造两两比较判断矩阵
为了把这种定性分析的结果量化， 世纪 年代， 世纪70年代 为了把这种定性分析的结果量化，20世纪 年代，美 国数学家 Saaty等人首先在层次分析中引入了九级比例标 等人首先在层次分析中引入了九级比例标 度和两两比较矩阵A=(aij)。 度和两两比较矩阵 。 两个元素相互比较时，以其中一个元素作为比较元1， 两个元素相互比较时，以其中一个元素作为比较元 ， 如相对上一层,u 若好坏相同 如相对上一层 i与uj（ uj为1）比较 若好坏相同，则aij记 ）比较,若好坏相同， 为1；若ui比uj较好, 记为3; 若ui比uj好, 记为5； 若ui比uj明 ； 较好 记为 记为 ； 显好,记为 若 好的多，则记为9; 显好 记为7;若 ui比uj好的多，则记为 2, 4, 6, 8则是介于 记为 则是介于 1,3,5,7,9之间的情况。 之间的情况。 之间的情况
不管是方案的优先还是权重的重要程度的比较， 不管是方案的优先还是权重的重要程度的比较， 我们都可以采用对方案或权重排序的方法来确 定它们的优先或重要程度。 定它们的优先或重要程度。 层次分析法就是对方案或因素的排序权重的方法。 层次分析法就是对方案或因素的排序权重的方法。 以下举例说明层次分析法对方案或因素的排序 或权重的确定方法。 或权重的确定方法。
（3）设第i组的组中值为xi，频数为N i , 频率为 Ni wi wi = （ ,其中k为专家给出的权重的个数）， k 以每一组的频率作为组中值的权数，求加权平均值：
a j = ∑ wi xi
i =1 p
( j = 1, 2,L , n)
得到权重集： A = (a1 , a2 ,L , an )
§7.2
第三层相对第二层元素“景点”的两 =7； 两比较矩阵A1中u1比u2明显的好, 记为7即a12 =7； u1比u3强一些, 但不多, 记为2, a13 =2; u1比u1当然 为1了; 类似, u2比u3 差一些(或u3比u2 好一些), 记 为1 / 4，于是得到矩阵： u1 1 7 2 A1 = u2 1 / 7 1 1 / 4 u3 1 / 2 4 1
五、计算最底层元素对目标的权重（排序）向量 计算最底层元素对目标的权重（排序） 在上述步骤中得到的是各层元素对上层元素的权重 （排序）向量 ，而我们的目的却是要得到最底层元素 排序） 对目标的权重（排序） 对目标的权重（排序）向量 ，这就须将已经得到的权 重（排序）向量进行合成，从而得到综合权重（排序） 排序）向量进行合成，从而得到综合权重（排序） 以下就三层的情况来介绍这种方法。 向量 。以下就三层的情况来介绍这种方法。
（3）计算落在每组内的权重的频数和频率； （4）取最大频率所在的组的组中值作为因素 u j的权重a j j =1,2, ,n),得到权重集： （ L A = (a1 , a2 ,L , an )
3. 加权统计法
加权统计法的前两步（ ），（ ），（2）同频数统计法。 加权统计法的前两步（1），（ ）同频数统计法。
l =1
( i = 1, 2,L , n)
2. 最小夹角法
(1) 将矩阵A的列向量单位化，得到的矩阵设为B = (bij )n ； （2）计算n来自∑ bijwi =
j =1
∑ ∑ bij
i =1 j =1
n
n
( i = 1, 2,L , n)
即B的行元素和与B的总元素和之比。 得到权重（排序）向量： W = ( w1 , w2 ,L , wn )
例1 某家庭预备 “五·一”出游，手上有三个旅游点 1，u 一 出游，手上有三个旅游点u ， u3的资料。u1景色优美，但u1是一个旅游热点，住宿条件 的资料。 景色优美， 是一个旅游热点， 不十分好, 费用也较高； 交通方便, 住宿条件很好， 不十分好 费用也较高；u2交通方便 住宿条件很好，价钱 也不贵，只是旅游景点很一般； 点旅游景点不错, 住宿、 也不贵，只是旅游景点很一般；u3点旅游景点不错 住宿、 花费都挺好，就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢？ 花费都挺好，就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢？ 在这个问题中，首先有一个目标 旅游选择； 在这个问题中，首先有一个目标——旅游选择；其次 旅游选择 是选择方案的标准——景点好坏、交通是否方便、费用 景点好坏、交通是否方便、 是选择方案的标准 景点好坏 高低、住宿条件等；第三个是可供选择的方案。 高低、住宿条件等；第三个是可供选择的方案。
人们在选择时， 人们在选择时，最困难的就是在众多方案中 都不是十全十美的,往往这方面很好， 都不是十全十美的 往往这方面很好，其它方面 往往这方面很好 就不十分满意，这时，比较各方案哪一个更好 就不十分满意，这时， 些，就成为首要问题了。 就成为首要问题了。 在模糊综合评判中， 在模糊综合评判中，对所选择的多个因素赋 予权重时，哪一个的权重应大一些？ 予权重时，哪一个的权重应大一些？这也是在 对因素赋予权重之前应该解决的问题。 对因素赋予权重之前应该解决的问题。
旅游
景色
住宿
费用
交通
u1
u2
u3
如果我们通过判断矩阵A 如果我们通过判断矩阵 1, 可以准确的确定 u1 ,u2 ,u3 相对“景点”的重要程度 就可以通过对 相对“景点”的重要程度, “景色”“住宿”“费用”“交通”等所有考虑 景色”“住宿”“费用”“交通” ”“住宿”“费用”“交通 到的因素的重要程度, 再通过这些因素的重要程度, 到的因素的重要程度 再通过这些因素的重要程度 最后确定出各方案对目标的重要程度。 最后确定出各方案对目标的重要程度。
二 层对一 层判断 矩阵： 3 1 1 / 3 1 B= 1 / 2 1 / 3 1 / 5 1 / 2 2 3 1 1 5 2 1 1
设第二层n2 个元素对第一层目标的权重（排序）向量为 ω1 ω2 （2） W = M ωM n2 第三层n3 个元素对第二层n2 个元素的权重（排序）向量为 W1 ,W2 ,L , Wn2 将 它 们构 成 分 块矩 阵 ： W = (W1 ,W2 ,L , Wn2 ) 则 第 三 层元 素 对 第一 层 目 标的 权 重 （排 序 ） 向量 为 ω1 ω2 （3 ） （2） W = WW = (W1 , W2 ,L ,Wn2 ) M ωM n2 = ω1W1 + ω 2W2 + L + ω n2 Wn2
定义 设A = (aij )n× n 为n阶判断矩阵， 若对于任意的i , j , k ∈ {1, 2,L , n}, 都有 aik akj = aij 则称A为一致性矩阵。