第一部分　名校考研真题
说明：本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。

所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。

第1章　函　数
一、填空题设
（ ）．[浙江大学研]
A ．0
B ．1
C ．
D ．【答案】B 【解析】
二、解答题
1．使用确界原理证明单调递减的有界数列必有极限。

[天津大学研]
证明：确界原理，即有上界的非空集必有上确界，有下界的非空集必有下确界。

设为单调递减且有界的数列，则由确界原理可知，
存在。

下面证该下
确界就是
的极限。

由下确界定义：（1）对任意的n ，有
，当然
成立，这ε为任意小的正数。

（2）对上述任意的ε，存在
N ，当n>N 时，有。

又因为条件（1），所以
成立。

2．设S 是非空集合，ξ＝infS ，试证明：若ξ∈S，则S 中必存在一个严格单调递减的，使得
[北京航空航天大学研]
证明：若
ξ＝infS ，即（1）对任意的x∈S，有X≥ξ：（2）对任意的ε>0，存在
，使得
取，存在，使得。

改变n 的值，有
依次类推，有而且满足很明显，为一个严
格单调递减的数列，且
3．设
{xy}为所有xy 乘积的集合，其中
，且x≥0及y≥0．证明：
[武汉大学研]
证明：设
①
②
又
，可取
．且使
③
由，∴存在
由③有
④
由②，④得证
4．设．
[同济大学研]
解：
当
当－1≤x＜0时，
当x＜－1时，
5．证明：函数为R上的有界函数．[湖北大学2001研]
证：
∴取ε＝1，存在N＞0，当
又f （x ）在
内连续．从而有界，即
综上两式知f （x ）在R 上有界．
6．设，求f （x ）的定义域和f （f （－7））．[中国人
民大学研]
解：由3－x ＞
0，3－x≠1，49－x 2
≥0，解得
，从而f （x ）的定义
域为
又
第2章　序列的极限
1．求下列极限：（1）
．[北京大学研]
（2）f （
x ）在[－1，1]上连续，恒不为0
，求．[华中师范大
学研]
解法1：
①
由①式及两边夹法则，．
（2）
故
解法2：
f 在[
－1，1]上连续；因而
f （x ）有界
2．设数列
单调递增趋于
①
证明：（1）（2
）设
②
证明：
，并利用（1），求极限
．[中国人民大学研]证明：（1）（
i ）先设
，由①式，
，存在N>0，当n>N 时有
特别取n
＝N
＋1
，N ＋2，
……
将这些式子统统相加得
此即
③
而
由于以及③式，
（
ii ）再当时．由①有
④
⑤
下证递增趋于，由④知，．当n>N 1时，有
⑥
，即单调递增．由⑥式有
，。