复习
集合的概念，集合的特点，区间的表示
定义域，值域，映射
初中知识回顾
〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向
〖大纲要求〗
1． 理解二次函数的概念；
2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；
3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解
特殊与一般相互联系和转化的思想；
4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；
5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
增加内容：一定区间上的最值问题，根的分布
主要思想：分类讨论
二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a
=-处取得最大值2
44ac b a
-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．
【例1】当22x -≤≤时，求函数2
23y x x =--的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．
解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．
由上述例题可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
【例2】当1
t x t
≤≤+时，求函数2
15
22
y x x
=--的最小值(其中t为常数)．分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数2
15
22
y x x
=--的对称轴为1
x=．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即1
t>时：当x t=时，2
min
15
22
y t t
=--；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即1101
t t t
≤≤+⇒≤≤时：
当1
x=时，2
min
15
113
22
y=⨯--=-；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即110
t t
+<⇒<时：
当1
x t=+时，22
min
151
(1)(1)3
222
y t t t
=+-+-=-．
综上所述：
2
2
1
3,0
2
3,01
15
,1
22
t t
y t
t t t
⎧
-<
⎪
⎪
=-≤≤
⎨
⎪
⎪-->
⎩
二次函数根的分布
1.求二次函数的根，就是解)(x
f=0，常用的方法有因式分解，或者直接利用求根公式。
首先考虑因式分解。
[例1]求下列函数的零点
（1） f(x)=-x2-2x+3（2）f(x)=x2-x-4
解析：（1）令f(x)=-(x+3)(x-1)=0，因此f(x)=0的根是-3，1，故f(x)的零点为-3，1。
（2）利用一元二次方程的求根公式,得f(x)=0的根，
『点评』：所对应方程的解与函数的零点的关系是解决本题的桥梁,对于一个二次函数，可通过分解因式或用求根公式求得方程的根.
【典例分析】判别式法
例2函数f(x)= x2-x-6是否有零点？
解析：因为 =(-1)2-4(-6)=25>0，所以方程x2-x-6=0有两个不相等的实数根。
所以f(x)有两个零点。
2.二次函数)(x f 的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数n m ,使得n m <且0)()(<n f m f
在区间()n m ,上，必存在0)(=x f 的唯一的实数根.
【例2】 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .
（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ；
（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.
分析：条件4221<<<x x 实际上给出了x x f =)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.
解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x .
（1）由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0
)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b a a b 两式相加得
12<a
b ，所以，10->x ; （2）由a
a b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a . 又0121>=a x x ，所以21,x x 同号.
∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1
)1(1202212b a x x , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1
)1(120)0(0)2(2b a g g
解之得 41<b 或4
7>b . 【例3】F(x)=ax^2-6x+1在（1，2）上有两不等实根，求a 取值范围
分析：由方程有两不等实根，可知△>0，由于a 的正负未知，抛物线开口方向未知，需要分类讨论。
解：由△>0,解得a<9。
若a>0，结合图形，得 F(1)>0
F(2)>0
解得a ∈（5,9）
若a<0，结合图形，得 F(1)<0
F(2)<0
解得 a ∈（—∞，0）
综上所述，a ∈（—∞，0）∪（5,9）
思考：若是在[1,2]上有两不等实根，条件应该如何改变？
[例4]已知。