1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM­DCP与刍童ABCD­A1B1C1D1的组合体中，AB＝AD，A1B1＝A1D1.(1)证明：直线BD⊥平面MAC；(2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝3，三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝233，求该组合体的体积．解：(1)证明：由题可知ABM­DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB＝A，∴MA⊥平面ABCD，∴MA⊥BD，又AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又MA∩AC＝A，∴BD⊥平面MAC.(2)设刍童ABCD­A1B1C1D1的高为h，则三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝13×12×2×2×h＝233，∴h＝3，故该组合体的体积V＝12×1×3×1＋13×(12＋22＋12×22)×3＝32＋73 3＝173 6.2.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，点E是PD的中点，棱PA与平面BCE交于点F.①求证：AD∥EF；②若△PAB是正三角形，求三棱锥P－BEF的体积．①证明因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BC∥AD.又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为B，C，E，F四点共面，且平面BCEF∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.又因为BC∥AD，所以AD∥EF.②解由①知，AD∥EF，点E是PD的中点，所以点F 为PA 的中点，EF ＝12AD ＝1.又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，AD ⊥AB ，所以AD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB .又因为△PAB 是正三角形，所以PA ＝PB ＝AB ＝2，所以S △PBF ＝12S △PBA ＝32.又EF ＝1，所以V P －BEF ＝V E －PBF ＝13×32×1＝36.故三棱锥P －BEF 的体积为36.3.(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM的距离.(1)证明因为PA ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .因为OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，OB ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC .(2)解作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ，因为OM ∩OP ＝O ，OM ，OP ⊂平面POM ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题意可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以在△OMC 中，由余弦定理可得，OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.4.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图所示的空间几何体．(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AB ＝2，求点B 到平面ADE 的距离．(1)证明因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，又BD ⊥DC ，DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD .因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB .又AD ⊥AB ，DC ∩AD ＝D ，AD ，DC ⊂平面ADC ，所以AB ⊥平面ADC .(2)解因为AB ＝2，AD ＝1，所以BD ＝3.依题意△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝CD BD ，即21＝CD 3.所以CD ＝ 6.故BC ＝3.由于AB ⊥平面ADC ，所以AB ⊥AC ，又E 为BC 的中点，所以AE ＝BC 2＝32.同理DE ＝BC 2＝32.所以S △ADE ＝12×1×＝22.因为DC ⊥平面ABD ，所以V A —BCD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B到平面ADE的距离为d，则13d·S△ADE＝V B—ADE＝V A—BDE＝12V A—BCD＝36，所以d＝6 2，即点B到平面ADE的距离为6 2 .5.(2018·全国Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由.(1)证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC.又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)解当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点.连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.6.已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积.解(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求直线.证明如下：取BC 的中点H ，连接AH ，∵△ABC 是腰长为3的等腰三角形，H 为BC 的中点，∴AH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AH ⊂平面ABC ，∴AH ⊥平面BCD ，同理，可证EN ⊥平面BCD ，∴EN ∥AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴EN ∥平面ABC .又M ，N 分别为BD ，DC 的中点，∴MN ∥BC ，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ∩EN ＝N ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴平面EMN ∥平面ABC ，又EF ⊂平面EMN ，∴EF ∥平面ABC .(2)连接DH ，取CH 的中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，NG ＝12DH ，由(1)可知EN ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等.又△BCD 是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，DH ＝3，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，NG ＝32，又AC ＝AB ＝3，BC ＝2，∴S △ABC ＝12·BC ·AH ＝22.∴V E －ABC ＝V N －ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝63.7..如图所示，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P －ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC 的值.解(1)∵AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，∴S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC 可知，PA 是三棱锥P －ABC 的高，且PA ＝1，∴三棱锥P －ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .∵PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴MN ⊥AC .又∵BN ⊥AC ，BN ∩MN ＝N ，BN ，MN ⊂平面BMN ，∴AC ⊥平面MBN .又∵BM ⊂平面MBN ，∴AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.综上所述，在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM 且PM MC ＝13.8.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A －BCD .(1)求证：平面AOC ⊥平面BCD ；(2)若三棱锥A －BCD 的体积为63，且∠AOC 是钝角，求AC 的长.(1)证明∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AO ，BD ⊥CO .折起后仍有BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，AO ∩CO ＝O ，AO ，CO ⊂平面AOC ，∴BD ⊥平面AOC .∵BD ⊂平面BCD ，∴平面AOC ⊥平面BCD .(2)解由(1)知BD ⊥平面AOC ，∴V A －BCD ＝13S △AOC ·BD ，∴13×12OA ·OC ·sin ∠AOC ·BD ＝63，即13×12×2×2×sin ∠AOC ×22＝63，∴sin ∠AOC ＝32.又∵∠AOC 是钝角，∴∠AOC ＝120°.在△AOC 中，由余弦定理，得AC 2＝OA 2＋OC 2－2·OA ·OC ·cos ∠AOC ＝(2)2＋(2)2－2×2×2×cos 120°＝6，∴AC ＝ 6.9.如图，矩形AB ′DE (AE ＝6，DE ＝5)，被截去一角(即△BB ′C )，AB ＝3，∠ABC ＝135°，平面PAE ⊥平面ABCDE ，PA ＋PE ＝10.(1)求五棱锥P －ABCDE 的体积的最大值；(2)在(1)的情况下，证明：BC ⊥PB .(1)解因为AB ＝3，∠ABC ＝135°，所以∠B ′BC ＝45°，BB ′＝AB ′－AB ＝5－3＝2，所以截去的△BB ′C 是等腰直角三角形，所以S ABCDE ＝S AB ′DE －S △BB ′C ＝6×5－12×2×2＝28.如图，过P 作PO ⊥AE ，垂足为O ，因为平面PAE ⊥平面ABCDE ，平面PAE ∩平面ABCDE ＝AE ，PO ⊂平面PAE ，所以PO ⊥平面ABCDE ，PO 为五棱锥P －ABCDE 的高．在平面PAE 内，PA ＋PE ＝10>AE ＝6，P 在以A ，E 为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的几何性质知，当点P 为短轴端点时，P 到AE 的距离最大，此时PA ＝PE ＝5，OA ＝OE ＝3，所以PO max ＝4，所以(V P －ABCDE )max ＝13S ABCDE ·PO max ＝13×28×4＝1123(2)证明连接OB ，如图，由(1)知，OA ＝AB ＝3，故△OAB 是等腰直角三角形，所以∠ABO ＝45°，所以∠OBC ＝∠ABC －∠ABO ＝135°－45°＝90°，即BC ⊥BO .由于PO ⊥平面ABCDE ，BC ⊂平面ABCDE ，所以PO ⊥BC ，又PO ∩BO ＝O ，PO ，BO ⊂平面POB ，所以BC ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，所以BC ⊥PB .。