ds


0 In dB sin d 2
1

2
0 nI B dB (cos 2 cos 1 ) 2
16
0 nI B (cos 2 cos 1 ) 讨论 2 1> 无限长： B 0 nI
1

2
0 nI 2> 端点处： B ( 2 0,1 ) 2 2 3> 外部： B 0 无限长直螺线管,管内为均匀场,管外B=0
作业5.3 两共轴的导体圆筒组成的电容器，内外筒半径 分别为 R1、R 2，R 2 2R1 ，其间有两层均匀介质，
分界面半径为 R ，内外层介质的相对介电常数分别为 r1、r 2，r 2 r1 / 2 ，两层介质的击穿场强均为 E M ，当电压升高时哪层介质先击穿？两筒间能加的 最大电压是多少？ 解：（1）设内外筒电荷线密度分别为 、 由介质 中的高斯定理得： R2
讨论： • 在圆心处，r0=0,
r0
2R 0 I •一段圆弧在圆心处磁场， B0 2 2 R
12
B0
0 I
R


dB
磁 • 轴线以外的磁场较复杂， 偶 可定性给出磁感应线， 极 S 子 电流与B线仍服从右手螺旋关系。 定义：磁偶极矩 m ISn 若有N匝线圈，总磁矩为：
大小： 方向： B a 与电流成右手螺旋
如果是半无限长带电直线：
方向： 与带电直线成 45o 角 大小：E 2 4 0 a
9
3 载流直线的延长线上：
Idl // r
dB 0
B0
如果是带电直线的延长线上：
E0
1 1 E ( ) 40 d d L
10
例2 求半径为R电流为I的载流园线圈轴线上的 磁场分布。 解 取一对对称的电流源， 它们在p点产生一对元磁场. 由于dB与dB关于轴线对称， 垂直轴的分量相互抵消。
23
ˆ 0 (qnSv )dl r ˆ 0 Idl r 2 电流元 dB 2 4 r 4 r 电荷数 dN nSdl
二、运动电荷的电场与磁场关系 q ˆ (1) 电场 E 40 r 2 r ˆ) q (v r 0 磁场 B (2) 2 4 r 方向:垂直 v 、 r 及其组成平面. A qv sin B 大小: B 0 2 v 4 r 由 (1) (2）得运动电荷在空间 任意一点产生的电场、磁场间 1 关系 B 0 0 (v E ) 2 ( v E ) c 1 c —— 真空中光速。
求几种典型稳恒电流分布的磁场分布。
5
例1 求载流长直导线L的磁场分布。 (1)写出Idl 激发的磁场dB 0 Idl sin 2 dB 方向： 2 4 r I
(2)写出L激发的磁场B
B
0 Idl sin B dB 2 4 r L A (3)积分运算 l r0ctg ( ) r0ctg
E2max E1max
外层先击穿
（2）两筒间加最大电压时：
R2
R1
E2max EM 0r1REM
R R E1 EM , E 2 EM 2r r R2 R R R2 R U max E dl dr dr R1 R1 2r R r RE M R R2 ln RE M ln 2 R1 R
Idl 到场点P的径矢。 0 Idl sin 大小: dB 4 r2
4 r
r:
P r
I

Id l
dB
方向: 右手螺旋法则。 二、任意形状载流导线的磁场 ˆ 0 Idl r B dB 2 4 L r
dB
r
Id l
4
Note： 1> 该定律仅适用于稳恒电流元。 2> B-S定律符合磁场的迭加原理； 在计算时一般用其分量式。 3> 电流元不能在自身方向上激发磁场。 三、 B-S 定律的应用－求磁场
解 这是带电线旋转形成电流，电流 又激发磁场的问题。
带电线各线元绕轴转动时形成 半径不同的载流园环，在o点的B为
O
r
a
A
dr
dB dI ndq ( )(dr ) 2r 2 a b dr 0 a b 0 B0 dB ln a 4 r 4 r a
Idl

l o
r
r0
1
dB
6
l r0ctg( ) r0ctg r0 d dl r0 ( 2 ) d 2 sin sin r0 sin( ) sin r 2 r0 2 r sin 2 B
0 Idl sin 代入：B dB 2 4 r L A
( 2 0,1 )
0 I 无限长直线电流： B 2a 0 I ★ 圆电流圆心： B
无限长螺线管：
B 0 nI
2R
17
例7 一根细棒弯成圆环形状，如图，棒上单位长度 带电（电荷的线密度），设此圆环绕它的轴线以 角速度旋转，试求其轴线上p点的磁感应强度。 解：带电园环旋转形成电流 整个圆环的电量 q=2 R p 而=2n n=/2
B dB cos R cos r
I
r0
P
R R r0
2 2
r0
R
r

dB dB

11
R R 0 Idl cos dB 2 2 2 2 r 4 (r0 R ) R r0 0 0 IR Idl R dl B 3 2 2 4 (r0 R ) (r 2 R 2 ) 4 2 2 2 0 ( r R ) 0 2 0 IR B 2 2(r0 R 2 ) 3 / 2 dB r
I
P
2
I
Idl

l o
r
r0
1
dB
I
I P
(1)
P (2)
(3)
8
1 无限长载流直线：
大小：
0 I B 2 a
方向： B a 与电流成右手螺旋
如果是无限长带电直线：
大小：
E 2 0 a
0 I B 4 a
方向： E // a
2 半无限长载流直线：
5 4
R2
14
例5 求如图所示的载流导线在圆心0处的磁场。 解 将导线看成由三部分组成 B0 B1 B2 B3 I 1 B1 0 2 O
3 I 3 I 0 B2 2 0 2 2 R 8R 0 I B3 4R
R
3
0 I 3 B0 B2 B3 ( 1) 方向：垂直向外。 4R 2
N
S n与I的方向 N 成右手关系
m NISn
·x >>R时：
B
o IR
2 x3
2
o IS 2x 3
o m 即: B 3 2 x
比较：E 2 o x P
3
(延长线上)
13
例3 无限长直线电流(I1,I2,距离P点均为d),求BP
BP B12 B22 0 I 2 0 I1 , B1 , B2 2d 2d
*8.2 匀速运动点电荷的磁场
讨论稳恒电流中匀速运动电荷激发的磁场（非 相对论的v<<c情况） 一、单个运动电荷的磁场 电流强度 I 的微观模型: 正电荷以 v 定向运动。
dq I q sv n dt
S
I
v
22
dq qnSv 电流 I dt
dB 0 qnS vdl r ˆ 单个电荷 B . 2 dN 4 nSdl r ˆ 0 qv r 方向沿 d l 方向 即 B v 4 r 2 Note: 1. 上式成立的条件：v<<c(光速) 2. 运动电荷除激发磁场外，同时还激发电场.
2
0 0
2
I
Idl

l o
r
r0
1
dB
I r sin d I B sin d 4 r 4 r 0 I B (cos 1 cos 2 ) 方向： 4 r0
2
0
1
2
100来自7 I 0 （4）讨论：B (cos 1 cos 2 ) 4 r0 若导线为无限长， 0 I 1 0 , 2 180 , B 2 r0 若导线为半无限长， 0 I 1 90 , 2 180 , B 4 r0 若直线上P点： B 0
I1 d

0 BP I12 I 22 2 d
I2 d
B1

P
P
B2
例4 弯曲载流导线(如图)在同一平面内，O为两 半圆弧的共同圆心(R1,R2)，电流自远来到远 去，则BO=？ 2 R1 0 I 0 I 0 I BO 0 0 ( ) 1 O 4 R1 4 R2 4R2 3
0 dI
b
B

19
求磁矩m 半径为r的dr园环产生的磁矩dm为
2 2
2 dm r dI r dr r dr 2 2
O
m dm
a b

2
a 3
r dr
3
2
r
a
A
dr

6
a b a
b
B

20
例9 求半径为R的无限长半圆形柱面导体轴线上 p点的磁场。其上流有电流I，电流均匀分布。 dI I 0 解： dB dI dl dl R 2R R 0 dI dBx dB cos90 sin I 2R 0 dI B dB x sin 2R 0 sin I 0 I dl sin Rd y 2 2 2R R 2 R dl 0 I 0 I sin d 2 2 2 R 0 R x dB 沿x轴正方向 21