dimension x(n),gx(kg)
gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)
gx(2)=-x(1)
end
subroutine hhx(n,kh,x,hx)
domension x(n),hx(kh)
hx(1)=0.0
end
然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：
============== PRIMARY DATA ==============
的可行方向。
[解] 按公式 6-32 d k = −P∇f (x k ) / P∇f (x k ) 计算适用的可行方向：
x k 点的目标函数梯度为： ∇f (x k ) = [− 0.5 1]T
x k 点处起作用约束的梯度 G 为一个 n ⋅ J 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：
G = ∇g1(x k ) = [− 1 −1]T
FX: -.1000000E+01
GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01
第 4 题答案：
[ ] [ ] 取 x0
=
1 1
时， x2
=1 25
99 48.5
， f (x2 ) = −7.996 。
第 5 题答案： 可参考表 4-1。
第五章 第 1 题答案：
x* = [4 0 0 0.333]T 时， ∑ f (x*) = c j x j = −5.567 。
第 2 题答案：
x
=
⎡1⎤ ⎢⎣3⎥⎦
。
第六章习题解答
1．已知约束优化问题：
s ⋅t
min f (x ) = (x 1 − 2)2 + (x 2 − 1)2
g1(x
)
=
x
2 1
−
x2
≤
0
g2(x ) = x1 + x 2 − 2 ≤ 0
试从第 k 次的迭代点 x (k ) = [− 1 2]T 出发，沿由（-1 1）区间的随机数 0.562 和-0.254
5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：
x
1 c
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
⎡3⎤ ⎢⎣3⎥⎦
+
⎡0.55⎤ ⎢⎣3.3 ⎥⎦
⎟⎟⎠⎞
=
⎡1.775⎤ ⎢⎣3.15 ⎥⎦
6）计算新一轮迭代的反射点得：
x
2 R
=
x
1 c
+ α (x
1 c
−
x
0 1
)
=
⎡1.775⎤
⎢⎣3.15
⎥ ⎦
+
1.3⎜⎜⎝⎛
⎡1.775⎤
ln[gu
(x
)]
=
x
2 1
+
x
2 2
−
2x 1
+1−
r
ln(3
−
x
2)
u =1
令惩罚函数对 x 的极值等于零：
dφ dx
=
⎡2x ⎢⎣2x
1 2
−2 − (−
r
)
/(3
−x
⎤ 2)⎥⎦
=
0
x1 =1
得：
x2 = 6±
36 + 8r 4
舍去负根后，得 x 2 = 6 +
36 + 8r 4
当 r → 0 时，x 2 → 3，该问题的最优解为 x = [1 3]T 。
2）计算去掉最坏点
x
0 2
后的复合形的中心点：
∑ x
0 c
=
1 L
3 i =1
x
0 i
=
1 2
⎜⎜⎝⎛
⎡2⎤ ⎢⎣1 ⎥⎦
+
⎡3⎤ ⎢⎣3⎥⎦
⎟⎟⎠⎞
=
⎡2.5⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
+
⎡3⎤ ⎢⎣3⎥⎦
i ≠2
3）计算反射点
x
1 R
（取反射系数α = 1.3 ）
x
1 R
=
x
0 c
+ α (x
0 c
−
x
0 2
=
⎡0.822⎤ ⎢⎣1.176⎥⎦
第 2 题答案：
xR2
=
⎡1.4825⎤
⎢⎣5.945
⎥ ⎦
，
f
1 R
= −41.43 。
第 3 题答案：
dk
=
⎡0.707⎤ ⎢⎣0.707⎥⎦
第 4 题答案：
⎡0 ⎤ d k = ⎢⎢0.243⎥⎥
⎢⎣0.97 ⎥⎦
第 5 题答案：
当r
→
0
时，
x2
→
3 ，该问题的最优解为：
即：
X
k +1
=
⎡0.822⎤
⎢⎣1.176
⎥ ⎦
该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2．已知约束优化问题：
s ⋅t
min
f
(x
)
=
4x 1
−
x
2 2
− 12
g1(x
)
=
x
2 1
+
x
2 2
−
25
≤
0
g2(x ) = −x1 ≤ 0
g3(x ) = −x 2 ≤ 0
⎡0.5 − 0.5⎤⎡− 0.5⎤ ⎢⎣− 0.5 0.5⎥⎦⎢⎣ 1 ⎥⎦
=
⎡− 0.707⎤ ⎢⎣ 0.707 ⎥⎦
4．已知约束优化问题：
s ⋅t
min
f
(x
)
=
4 3
(
x
2 1
−
x 1x
2
+
x
2 2
)( 3 4)
−
x
3
g1 = −x 1 ≤ 0
g2 = −x 2 ≤ 0
g3 = −x 3 ≤ 0
⎢⎣3.15
⎥ ⎦
−
⎡2⎤
⎢⎣1
⎥ ⎦
⎟⎟⎠⎞
=
⎡1.4825⎤
⎢⎣5.945
⎥ ⎦
经判断x
2 R
为可行点，其目标函数值f
1 R
=
−41.413，完成第二次迭代。
3．设 已 知 在 二 维 空 间 中 的 点 x = [x 1 x 2 ]T ， 并 已 知 该 点 的 适 时 约 束 的 梯 度 ∇g = [− 1 − 1]T ，目标函数的梯度 ∇f = [− 0.5 1]T ，试用简化方法确定一个适用
5．用内点法求下列问题的最优解：
min f
(x
)
=
x
2 1
+
x
2 2
−
2x 1
+1
s ⋅t
g1 = 3 − x 2 ≤ 0
2
∑ （提示：可构造惩罚函数 φ(x , r ) = f (x ) − r ln[gu (x )]，然后用解析法求解。） u =1
[解] 构造内点惩罚函数：
2
∑ φ(x , r ) = f (x ) − r
2) 用公式： x (k +1) = x (k ) + αS R 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界
上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为 2，则：
x
k +1
=
x
k 1
+ αS R 1
=
−1 + 2 × 0.911 = 0.822
x
k 2
+1
=
x
k 2
+ αS R 2
= 2 + 2 × (−0.412) = 1.176
R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06 X : .9493056E-07 .7203758E-07 FX: .1669681E-06 GX: -.7203757E-07 -.9493056E-07
7．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：
min f (x ) = x 2 − x 1
梯度投影矩阵 P 为：
[ ] P = I
−G
GTG
−1
G
T
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦
−
⎢⎣⎡−− 11⎥⎦⎤⎜⎜⎝⎛ [−
1
−
1]⎢⎣⎡−−
1⎤ 1⎥⎦
⎟⎟⎠⎞
−1
[−
1
01]
=
⎡0.5 − ⎢⎣− 0.5
0.5⎤ 0.5⎥⎦
则：适用可行方向为：
d
k
=
−
⎡0.5 − ⎢⎣− 0.5
0.5⎤⎡− 0.5⎤ 0.5⎥⎦⎢⎣ 1 ⎥⎦
PEN = .5000000E+01
R = .1000000E+01
C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01
EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05
=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0
第四章
第 1 题答案：
[ ] [ ] 当取初始点 x0 =
3 0
时， x2 =
1.11 0.56
， f (x2 ) = 0.63 。
第 2 题答案：
[ ] [ ] 取 x0 =
3 0
时， x2 =
1.57 0.97
， f (x2 ) = 0.17 。