攀枝花学院本科学生课程设计任务书注：任务书由指导教师填写。
摘要及关键字本程序中的数据采用“树形结构”作为其数据结构。
具体采用的是“二叉排序树”。
二叉排序树（又称二叉查找树）：(1)若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根结点的值；(2)若右子树不空，则右子树上所有节点均大于它的根结点的值；(3)它的左右子树分别为二叉排序树。
二叉平衡树：若不是空树，则(1)左右子树都是平衡二叉树；(2)左右子树的深度之差的绝对值不超过1。
本次实验是利用二叉排序树和平衡二叉树达到以下目的：(1)以回车('\n')为输入结束标志,输入数列L，生成一棵二叉排序树T；(2)对二叉排序树T作中序遍历，输出结果；(3)计算二叉排序树T查找成功的平均查找长度,输出结果；(4)输入元素x,查找二叉排序树T,若存在含x的结点,则删该结点,并作中序遍历(执行操作2)；否则输出信息“无x”；(5)用数列L，生成平衡的二叉排序树BT:当插入新元素之后，发现当前的二叉排序树BT不是平衡的二叉排序树，则立即将它转换成新的平衡的二叉排序树BT； (6)计算平衡的二叉排序树BT的平均查找长度，输出结果。
关键字：数列L,结点,二叉排序树,平衡二叉树目录摘要 (3)1 绪论 (5)1.1 课程设计的目的 (5)1.2 相关知识的阐述 (5)1.2.1一位数组的存储结构 (5)1.2.2建立二叉排序树 (5)1.2.3中序遍历二叉树 (5)1.2.4平均查找长度 (6)1.2.5平均二叉树（AVL树） (6)1.2.6平衡因子 (7)1.2.7平衡二叉树的调整方法 (7)2方案设计 (8)2.1 模块功能 (8)3 算法设计 (8)3.1 算法流程图 (8)4详细设计 (10)4.1 主程序 (10)4.2 定义二叉树结构 (11)4.3 建立二叉树 (11)4.3.1二叉排序树的查找 (11)4.3.2二叉排序树的插入 (11)4.4 中序遍历 (12)4.5 平均查找长度 (12)4.6 删除节点 (12)4.7 判断平衡二叉树 (13)5 调试分析 (14)5.1 时间复杂度的分析 (14)5.2 运行结果 (14)5.3 结果分析 (15)6 课程设计总结 (16)参考文献 (17)1 绪论1.1 课程设计的目的(1)使学生进一步理解和掌握课堂上所学各种基本抽象数据类型的逻辑结构、存储结构和操作实现算法，以及它们在程序中的使用方法。
(2)使学生掌握软件设计的基本内容和设计方法，并培养学生进行规范化软件设计的能力。
(3)使学生掌握使用各种计算机资料和有关参考资料，提高学生进行程序设计的基本能力。
1.2 相关知识的阐述1.2.1 一维数组的存储结构建立二插排序树，首先用一个一维数组记录下读入的数据，然后再用边查找边插入的方式将数据一一对应放在完全二叉树相应的位置，为空的树结点用“0”补齐。
1.2.2 建立二叉排序树二叉排序树是一种动态树表。
其特点是：树的结构通常不是一次生成的，而是在查找过程中，当树中不存在关键字等于给定值的节点时再进行插入。
新插入的结点一定是一个新添加的叶子节点，并且是查找不成功时查找路径上访问的最后一个结点的左孩子或右孩子结点。
插入算法：首先执行查找算法，找出被插结点的父亲结点；判断被插结点是其父亲结点的左、右儿子。
将被插结点作为叶子结点插入；若二叉树为空，则首先单独生成根结点。
注意：新插入的结点总是叶子结点。
1.2.3 中序遍历二叉树中序遍历二叉树算法的框架是：若二叉树为空，则空操作；否则(1)中序遍历左子树（L）；(2)访问根结点（V）；(3)中序遍历右子树（R）。
中序遍历二叉树也采用递归函数的方式，先访问左子树2i,然后访问根结点i,最后访问右子树2i+1.先向左走到底再层层返回，直至所有的结点都被访问完毕。
1.2.4 平均查找长度计算二叉排序树的平均查找长度时，采用类似中序遍历的递归方式，用s记录总查找长度，j记录每个结点的查找长度，s置初值为0，采用累加的方式最终得到总查找长度s。
平均查找长度就等于s/i(i为树中结点的总个数)。
假设在含有n(n>=1)个关键字的序列中，i个关键字小于第一个关键字，n-i-1个关键字大于第一个关键字，则由此构造而得的二叉排序树在n个记录的查找概率相等的情况下，其平均查找长度为：ASL(n,i)=[1+i*(P(i)+1)+(n-i-1)(P(n-i-1)+1)]/n 其中P(i)为含有i个结点的二叉排序树的平均查找长度，则P(i)+1为查找左子树中每个关键字时所用比较次数的平均值，P（n-i-1）+1为查找右子树中每个关键字时所用比较次数的平均值。
又假设表中n个关键字的排列是“随机”的，即任一个关键字在序列中将是第1个，或第2个，…，或第n个的概率相同，则可对上式从i等于0至n-1取平均值。
最终会推导出：当n>=2时，ASL(n)<=2(1＋1/n)ln(n)由此可见，在随机的情况下，二叉排序树的平均查找长度和log（n）是等数量级的。
另外，含有n个结点的二叉排序树其判定树不是惟一的。
对于含有同样一组结点的表，由于结点插入的先后次序不同，所构成的二叉排序树的形态和深度也可能不同。
而在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态有关：①在最坏情况下，二叉排序树是通过把一个有序表的n个结点依次插入而生成的，此时所得的二叉排序树蜕化为棵深度为n的单支树，它的平均查找长度和单链表上的顺序查找相同，亦是(n+1)/2。
②在最好情况下，二叉排序树在生成的过程中，树的形态比较匀称，最终得到的是一棵形态与二分查找的判定树相似的二叉排序树，此时它的平均查找长度大约是lgn。
③插入、删除和查找算法的时间复杂度均为O(lgn)。
1.2.5 平衡二叉树( AVL树 )①平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是指树中任一结点的左右子树的高度大致相同。
②任一结点的左右子树的高度均相同(如满二叉树)，则二叉树是完全平衡的。
通常，只要二叉树的高度为O(1gn)，就可看作是平衡的。
③平衡的二叉排序树指满足BST性质的平衡二叉树。
④AVL树中任一结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。
在最坏情况下，n个结点的AVL树的高度约为1.44lgn。
而完全平衡的二叉树高度约为lgn，AVL树是最接近最优的。
1.2.6 平衡因子二叉树上任一结点的左子树深度减去右子树的深度称为该结点的平衡因子，易知平衡二叉树中所有结点的因子只可能为0，-1和1。
平衡二叉排序树的在平衡因子绝对值等于2时开始调整到绝对值为1或0，在平衡因子绝对值为2时，二叉排序树会出现四种不同的情况的树形，因此这时需要分别单独讨论来降低平衡因子。
1.2.7 平衡二叉树的调整方法平衡二叉树是在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入新结点而破坏了二叉排序树的平衡性，若是，则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。
具体步骤如下：(1)每当插入一个新结点，从该结点开始向上计算各结点的平衡因子，即计算该结点的祖先结点的平衡因子，若该结点的祖先结点的平衡因子的绝对值均不超过1，则平衡二叉树没有失去平衡，继续插入结点；(2)若插入结点的某祖先结点的平衡因子的绝对值大于1，则找出其中最小不平衡子树的根结点；(3)判断新插入的结点与最小不平衡子树的根结点的关系，确定是哪种类型的调整；(4)如果是LL型或RR型，只需应用扁担原理旋转一次，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；如果是LR型或LR型，则需应用扁担原理旋转两次，第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在子树，第二次再调整最小不平衡子树，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；(5)计算调整后的平衡二叉树中各结点的平衡因子，检验是否因为旋转而破坏其他结点的平衡因子，以及调整后的平衡二叉树中是否存在平衡因子大于1的结点。
2 方案设计2.1 模块功能1.建立二叉树：要求以回车('\n')为输入结束标志,输入数列L，生成一棵二叉排序树T。
2.中序遍历并输出结果：要求将第一步建立的二叉树进行中序遍历，并将结果输出。
3.平均查找长度并输出：要求计算二叉排序树T查找成功的平均查找长度,输出结果。
4.删除节点：要求输入元素x,查找二叉排序树T,若存在含x的结点,则删该结点,并作中序遍历(执行操作2)；否则输出信息“无x”。
5.生成平衡二叉树：要求用数列L，生成平衡的二叉排序树BT:当插入新元素之后，发现当前的二叉排序树BT不是平衡的二叉排序树，则立即将它转换成新的平衡的二叉排序树BT；6.平均查找长度：计算平衡的二叉排序树BT的平均查找长度，输出结果。
3 算法设计3.1 算法流程图建立二叉树流程图：主程序流程图：中序遍历流程图：删除节点流程图：4 详细设计4.1 主程序void main(){node T=NULL;int num;int s=0,j=0,i=0;int ch=0;node p=NULL;printf("请输入一组数字并输入0为结束符:");do{scanf("%d",&num);if(!num) printf("你成功完成了输入!\n");else insertBST(&T,num);}while(num);printf("\n\n---操作菜单---\n");printf("\n 0: 退出" );printf("\n 1: 中序遍历");printf("\n 2: 平均查找长度");printf("\n 3: 删除");printf("\n 4: 判断是否是平衡二叉树");while(ch==ch){printf("\n 选择操作并继续:");scanf("%d",&ch);switch(ch){case 0: exit(0); /*0－－退出*/case 1: printf(" 中序遍历结果是:\n ");inorderTraverse(&T);break;case 2: s=0;j=0;i=0;calculateASL(&T,&s,&j,i);printf(" ASL=%d/%d",s,j);break;case 3: printf(" 请输入你想删除的数字:");scanf("%d",&num);if(searchBST(T,num,NULL,&p)){T=Delete(T,num);printf(" 你已成功删除该数字!\n ");inorderTraverse(&T);else printf(" 没有你想要删除的节点%d!",num);break;case 4: i=0;balanceBST(T,&i);if(i==0) printf(" OK!这是平衡二叉树!");else printf(" NO!");break;default: printf("你的输入有误!请重新输入!\n");break;}}}4.2 定义二叉树结构#include<stdio.h>typedef struct Tnode{int data;struct Tnode *lchild,*rchild;}*node,BSTnode;4.3 建立二叉树4.3.1 二叉排序树的查找searchBST(node t,int key,node f,node *p){/*在根指针t所指二叉排序树中递归地查找其关键字等于key的数据元素，若查找成功，则指针p指向该数据元素节点，并返回（1），否则指针p指向查找路径上访问的最后一个节点并返回（0），指针f指向t的双亲，其初始调用值为NULL*/ if(!t) {*p=f;return (0);} /*查找不成功*/else if(key==t->data) {*p=t;return (1);} /*查找成功*/else if(key<t->data) searchBST(t->lchild,key,t,p); /*在左子树中继续查找*/else searchBST(t->rchild,key,t,p); /*在右子树中继续查找*/}4.3.2 二叉排序树的插入insertBST(node *t,int key){/*当二叉排序树t中不存在关键字等于key的数据元素时，插入key并返回（1），否则返回（0）*/node p=NULL,s=NULL;if(!searchBST(*t,key,NULL,&p)) /*查找不成功*/{ s=(node)malloc(sizeof(BSTnode));s->data=key;s->lchild=s->rchild=NULL;if(!p) *t=s; /*被插入节点*s为新的根节点*/else if(key<p->data) p->lchild=s; /*被插节点*s为左孩子*/else p->rchild=s; /*被插节点*s为右孩子*/return (1); }else return (0); /*树中已有关键字相同的节点，不再插入*/}4.4 中序遍历inorderTraverse(node *t) /*中序遍历*/{ if(*t){if(inorderTraverse(&(*t)->lchild)){ printf("%d ",(*t)->data);if(inorderTraverse(&(*t)->rchild)); }} else return(1);}4.5 平均查找长度calculateASL(node *t,int *s,int *j,int i) /*计算平均查找长度*/{if(*t){ i++; *s=*s+i;if(calculateASL(&(*t)->lchild,s,j,i)){ (*j)++;if(calculateASL(&(*t)->rchild,s,j,i)){i--; return(1);}}} else return(1);}4.6 删除节点node Delete(node t,int key){ /*若二叉排序树t中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素节点*/node p=t,q=NULL,s,f;while(p!=NULL){ if(p->data==key) break;q=p;if(p->data>key) p=p->lchild;else p=p->rchild;}if(p==NULL) return t;if(p->lchild==NULL){ if(q==NULL) t=p->rchild;else if(q->lchild==p) q->lchild=p->rchild;else q->rchild=p->rchild;free(p);}else{ f=p;s=p->lchild;while(s->rchild){ f=s;s=s->rchild; }if(f==p) f->lchild=s->lchild;else f->rchild=s->lchild;p->data=s->data;free (s);} return t;}4.7 判断平衡二叉树int balanceBST(node t,int *i) /*判断平衡二叉树*/{ int dep1,dep2;if(!t) return(0);else { dep1=balanceBST(t->lchild,i);dep2=balanceBST(t->rchild,i);}if((dep1-dep2)>1||(dep1-dep2)<-1) *i=dep1-dep2;if(dep1>dep2) return(dep1+1);else return(dep2+1); }5 调试分析5.1 时间复杂度的分析为了保证二叉排序树的高度为lgn，从而保证然二叉排序树上实现的插入、删除和查找等基本操作的时间复杂度为O(lgn)。