1. 用有限差分法和有线元方法把以下问题变成数值方程，并说明两种方法的异同：
2(,)0x y ϕ∇= 边界条件：
(,0)(,1)0;(0,)(1,)1;
x x y y ϕϕϕϕ==== 解：
(1) 有限差分法 2(,)0x y ϕ∇= 即为20xx yy u u u ∇=+=，其中(),u x y ϕ=
将定义域等分，步长均为h ，则
()()()()()()222,,,,4,u x h y u x h y u x y h u x y h u x y u O h h
++-+++--∇=+ 略去高阶无穷小，由20xx yy u u u ∇=+=得
()()()()(),,,,4,0u x h y u x h y u x y h u x y h u x y ++-+++--=
定义域离散，离散点为(),i j x y ，则上式可化为
()()()()(),,,,4,0i j i j i j i j i j u x h y u x h y u x y h u x y h u x y ++-+++--=
定义域为01,01x y ≤≤≤≤，因为本题只是为了说明原理，故将其简单等分为33⨯单元，节点编号从()()0,02,2到。

则
1,1,,1,1,40i j i j i j i j i j u u u u u +-+-+++-=
其位移矢量为
()()()()()()()()()0,00,10,21,01,11,22,02,12,24110141101410141101411011410141011410140u u u u u u u u u ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由边界条件 (,0)(,1)0;(0,)(1,)1;
x x y y ϕϕϕϕ==== 可知()()()()0,00,22,02,2,,,u u u u 有冲突，可以区位均值即()()()()0,00,22,02,20.5u u u u ====，而()()1,11,20u u ==，()()0,12,10u u ==，带入化简即可求得()1,1u
(2) 有限元法
使用有限元法的计算流程为：
求解区域离散化；
构造插值函数形成分段光滑的坐标函数系；
用 Ritz 方法求解微分方程
对2(,)0x y ϕ∇=构造函数
()221,2x y dxdy x x ϕϕϕ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫∏=+⎡⎤⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ 首先将整个区域离散为三角形的子区域如下图， 三角形微小子区域中的值由三 角形节点值的插值结果表示，即
(),i i j j k k x y N N N ϕϕϕϕ=++
其中,,i j k N N N 为三角形的节点插值函数， ,,i j k ϕϕϕ为函数(),x y ϕ在节点 ,,i j k 处的函数值。

可知每一个三角形子区域中泛函可由节点插值函数和节点函数值表示， 那么对于整个求解区域的泛函表达式为
()[]123,,,...n x y ϕϕϕϕϕ∏=∏⎡⎤⎣⎦
由变分原理可知
12...0n
ϕϕϕ∂∏∂∏∂∏====∂∂∂ 计算这 n 个方程即可得到整个求解区域的值
(3) 有限元法与差分法的区别
• 区域离散化要与坐标轴一致，所以大多是正方形或矩形的离散结构，表述边界的误差较大
• 有限元单元的形状没有限制，可以做到单元形状与边界重合，处理无规边界的问题
• 有限元统一对待区域内的节点与边界上的节点，因此个节点的计算精度总体上协调；而有限差分必须分别处理微分方程与定解条件
2. 请看Microrobot的说明文件（这个文件可以在COMSOL
3.5中打开Model Library----→ Thermal Structure Interaction---→Microrobot 3D），详细看懂说明书该问题的分析，用自己熟悉的3D工具进行建模，用COMSOL更高版本进行仿真。

解：
微型机器人腿构造如下：
原理：热源加热使得局部温度升高，由于所使用有机物的热膨胀系数较高，故加热有有机物体积膨胀大，V型槽上部体积膨胀高于下部，故硅腿会向下弯曲。

Comsol仿真：
建模时V型槽薄板不画出，仿真设定V型面为shell单元。

模型如下图：
图1.1 Robot leg 3D模型
计算结果：
图1.2 Robot leg 位移图
图1.3 Robot leg 温度图
分析：从位移变形图可以看出，腿向下弯曲，这与实际情况一致；从根部至末端，位移逐渐增大；末端最大为51.8110m -⨯ 即18.1um 。

从温度变形图可以看出，V 型槽温度最高，为305K ，腿根部温度最低，为275K ，散热效果良好
3. 请学习COMSOL
4.4的COMSOL Reference Manual中Deformed Geometry and Moving Mesh的使用方法，用COMSOL4.4 仿真流体与结构的相互作用（问题描述请见文件:fluid_structure_interaction.pdf）。

解：
原理：流体以一定流速流过通道时，会与通道中物体产生相互作用了，在该作用力的作用下，物体会产生应力和形变。

Comsol仿真：流体从六面体前表面流进inlet，后表面流出outlet，其他便面设定为wall，中间固定物体下表面为fix constrain。

在comsol5.0中流速采用例子中所给的
16*u_max*y*(width-y)*z*(height-z)/(width^2*height^2)无法求解，具体原因不详，因此设定inlet为恒定速度1.5/
m s。

模型如下图：
图2.1 Fluid structure 3D模型
计算结果：
图2.2 Fluid structure 位移图
图2.3 Fluid structure 应力图
分析：从位移和应力图可以看出，流体与柱状体表面作用使得柱状体弯曲，与实际情况相符；顶端点为位移最大，应力最小，位移为55.293510m -⨯ 即52.935um ，
应力为382.465Pa
；根部位移最小，应力最大，位移为0um ，应力为621.1704710/N m ⨯ 即1.17047Mpa 。

4. 微型层流混合器
（1）请看COMSOL4.4 中Model Libraries—MEMS Module –Micromixers---Lamella mixer PDF说明书，用SOLIDWOKS工具建模，用COMSOL仿真；
（2）自己设想一种可能的更有效的微型流体混合结构；
（3）试试用其他的软件进行仿真并比较说明
解：
原理：
经过微型流体混合机构，微流体从不同的小通道汇聚到大通道中
首先要进行3D建模，微型流体混合器的3D模型如下图：
图3.1 Lamella mixer 3D模型
Comsol计算结果
图3.2 Lamella mixer 速度图
图3.3 Lamella mixer 浓度图
分析
流体从微小通道汇聚到大通道后流速会降低，且浓度会保持分层趋势，仿真结果与实际情况符合。

通过对速度图分析可知最高流体速度为31.2810/m s -⨯ ，最小速度为零；分析浓度图可知，流体在校通道中浓度不变，汇聚到大通道后浓度混合，但上层浓度明显要高于下层。

ANSYS CFX 计算
在ANSYS 分析中，没有严格按照Comsol 中的速度及浓度定义，设定入口速度分别为5m/s 和10m/s ，其余均为默认值，分析结果如下：
图3.4 CFX 分析结果-速度
图3.5 CFX分析结果-压力
两种分析结果对比分析
ANSYS CFX中后处理的可选项相对Comsol比较少，但是操作流程基本相同
微纳系统仿真
5. 谈谈使用COMSOL进行多场耦合仿真的体会。

以上2、3、4道需要大家安装COMSOL软件。

Comsol可以很方便的进行多场仿真，包含了相当多的常用模块，想要添加场时只需要简单的添加相应模块并设定初值和边界条件即可。

和Ansys比起来comsol的一大优点是，可以看到计算的微分方程模型。

这一功能对于初学者来说虽然意义不大，因为初学者没有足够的知识储备去理解这些方程，但是如果真正的从事研究工作，Comsol是非常好用的计算仿真工具。

第11页。