俯视图侧视图正视图高二上期半期考试数学试题卷（理科）数学试题共4页。
满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0122:=+-yxl的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线1422=-yx的渐近线?( )A.xy21-= B.xy41-=C.xy2= D.xy4=3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B.π8C.π10 D.12+π(图1) 4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。
其中能使“yxzyzx//⇒⊥⊥且”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1222=+yx交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为( )A.1- B.1 C.21- D.2BC6.已知命题:p直线2+=xy与双曲线122=-yx有且仅有一个交点；命题:q若直线l垂直于直线m,且,//α平面m则α⊥l. 下列命题中为真命题的是( )A.()()p q⌝∨⌝ B.()p q⌝∨ C.()()p q⌝∧⌝ D.p q∧7.下列有关命题的说法错误．．的是( )A.对于命题p：x R∃∈，使得210x x++<. 则⌝p：x R∀∈，均有210x x++≥.B.“1=x”是“0232=+-xx”的充分不必要条件.C.命题“若12=x, 则1=x”的否命题为：“若12≠x,则1≠x”.D.命题“若5≠+yx，则32≠≠yx或”是假命题.8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD沿AC折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( )A.面ABD⊥面BCDB.面ABD⊥面ACDC.面ABC⊥面ACDD.面ABC⊥面BCD(图2) (图3)9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形, 面PA B⊥面ABCD. 在面PAB内的有一个动点M, 记M到面PAD的距离为d. 若1||22=-dMC, 则动点M在面PAB内的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12e=,右焦点为F（c, 0），方程20ax bx c+-=的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1, x2)的位置( )A.必在圆222x y+=内 B.必在圆222x y+=上C.必在圆222x y+=外 D.以上三种情形都有可能俯视图侧视图二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上. 11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 则切线段PA 的长为________12.椭圆1002x +362y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离是 .13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 . 14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .15.(原创)设A 为椭圆12222=+by a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF ⊥BF. 若∠ABF ∈[12π,4π], 则该椭圆离心率的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题13分)已知双曲线2222:1(0,0)x y Ca b a b-=>>2。
(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线m x y +=被双曲线C 截得的弦长为24，求m 的值。
17.(本小题13分)已知命题A ：方程11522=-+-t x t y 表示焦点在y 轴上的椭圆；命题B ：实数t 使得不等式0)1(2<++-a t a t 成立。
（1）若命题A 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题B 是命题A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。
A 1B 1C 1EF G AC B 18.(本小题13分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，︒=∠90ACB ，点E 、F 、G 分别是AA 1、AC 、BB 1的中点，且CG ⊥C 1G .(1)求证：CG//面BEF; (2)求证：面BEF ⊥面A 1C 1G .(图5)(图6)19. (本小题12分) 如图6-(1)所示，在边长为12的正方形11A A AA ''中，点B 、C 在线段AA′上，且AB=3，BC=4.作BB 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点B 1、P ；作CC 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点C 1、Q. 现将该正方形沿BB 1，CC 1折叠，使得''1A A 与AA 1重合，构成如图6-(2)所示的三棱柱ABC-A 1B 1C 1.(1)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，求证：AP ⊥BC;(2)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，连接AQ 与A 1P ，求四面体AA 1QP 的体积； (3)在三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，求直线 PQ 与直线AC 所成角的余弦值.20.(本小题12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率等于22，它的一个顶点B 恰好是抛物线y x 42=的焦点。
(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，那么椭圆C 的右焦点F 是否可以成为BMN ∆的垂．心．？若可以,求出直线l 的方程；若不可以,请说明理由.(注: 垂心是三角形三条高线的交点)21.(原创)(本小题12分)如图7, 已知圆)1()1(:222>=+-r r y x C ,设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上.(1)当r 在),1(+∞内变化时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知定点P(-1,1)和Q(1,0)，设直线PM 、QM 与轨迹E 的另一个交点分别是M 1、M 2 . 求证：当M 点在轨迹E 上变动时，只要M 1、M 2都存在且M 1≠M 2，则直线M 1M 2恒过一个定点，并求出这个定点。
(图7)高二上期半期考试数 学 答 案（理科）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B CBC CAD AD A11.3 ; 12. 12 ;13. 3 ;14. π259 ;15. [22,36]16.解：(1)由题意，解得1,3a c ==，∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)⎪⎩⎪⎨⎧=---⇒=-+=022122222m mx x yx m x y ,由弦长公式得1)2(4422422±=⇒++⋅=m m m .17.解：(1)由条件知31015<<⇒>->-t t t ;(2)B 是A 的必要不充分条件, ∴31<<t 是0)1(2<++-a t a t 解集的真子集. 因方程0)1(2=++-a t a t 两根为a 和1, 故只需3>a .18.证明：(1)法1：连结A 1C ，由A 1C//EF 且A 1G//EB 可知面A 1CG//面EFB ，所以CG//面BEF.法2：连结AG 交BE 于点H ，再连结FH ，在△ACG 中，FH 是中位线，所以FH//CG ，则CG//面BEF 。
(2)G C A CG CG G C CG C A B BCC C A CC C A C B C A 1111111111111111面面且由⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⊥⇒⊥⊥,而CG//面BEF, 所以面BEF ⊥面A 1C 1G.19. (1)证明:因为AB=3，BC=4，所以图（2）中AC=5，从而有AC 2=AB 2+BC 2,即BC ⊥AB.又因为BC ⊥BB 1，所以BC ⊥平面ABB 1A 1, 则AP ⊥BC.(2)解: 182111=⋅=∆AB AA S APA , 由于CQ//面APA 1且BC ⊥面APA 1, 所以Q 到面APA 1距离就是BC 的长4, 所以24418311=⨯⨯=-APA Q V .(3)解: 建立如图空间直角坐标系，则A(3,0,0)、C(0,4,0)、P(0,0,3)、Q(0,4,7).所以).4,4,0(),0,4,3(=-=−→−−→−PQ AC 设直线AC与直线PQ 所成角为θ，则cos =θ.52224516||·|||·|=⨯=−→−−→−−→−−→−PQ AC PQ AC20.解: (1)设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ,抛物线y x 42=的焦点为(0,1), 由⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==2122a b a c ,所以椭圆方程为1222=+y x(2)假设存在直线l ,使得点F 是BMN ∆的垂心.易知直线BF 的斜率为1-,从而直线l 的斜率为 1.设直线的方程为m x y +=,代入椭圆方程并整理,可得0)1(24322=-++b bx x .设),(),,(2211y x N y x M ,则m x x 3421-=+，322221-=m x x .于是)1()1(1212---=⋅y y x x)34)(1(3222))(1(2))((2222121212121212121=-+--+-⋅-=-++-+-=++--++=--+=m m m m m m m x x m x x m x m x x x m x x y y x x y x 解之得1=m 或3/4-=m .当1=m 时,点B 即为直线l 与椭圆的交点,不合题意; 当34-=m 时,经检验符合题意. 所以当且仅当直线l 的方程为34-=x y 时, 点F 是BMN ∆的垂心.21解:(1)设(,)M x y ,则AM 的中点(0,)2y D .因为(1,0)C ,(1,)2y DC =-,(,)2y DM x =在⊙C 中,因为CD DM ⊥，所以,0DC DM ⋅=，所以204y x -=.所以,点M 的轨迹E 的方程为:24y x =(0)x ≠ . (2)设M, M 1, M 2的坐标分别为)2,(),2,(),2,2221212t t t t t t （,其中210≠≠t t 且. 由P,M,M 1共线得12211222122211-+=⇒+-=--t t t t t t t t t ; 由Q,M,M 2共线得tt t t t t t t 110222222222-=⇒--=--.所以tt t t t -+-=22122, ）（*212221 t t t t t -+=+. 可见021≠+t t , 即直线M 1 M 2必有斜率. 由点斜式可求得直线M 1 M 2的方程为: 022)2121=--+t t x y t t （, 将(*)中两式代入得:042)24()122=++--+t x t t y t （, 再化简得0)4()1(2)4(2=++++-y x t x y t .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=+=+=-41040104y x y x x y .所以直线M 1 M 2必过点(-1,-4)。