1．知识与技能
进一步理解曲线的方程和方程的曲线 的概念，掌握求曲线的方程和由方程研究曲 线性质的方法．
2．过程与方法
了解求曲线方程的几种常用方法，能 够利用它们去求曲线的方程．
重点：轨迹方程的求法．
难点：求曲线的方程的思路．
在求轨迹方程时，要注意题设条件对 变量的限制，这一点易被忽视，如求某一三 角形的顶点的轨迹方程时，要排除三点共线 的情况．求出轨迹方程后，将方程所表示的 曲线在原图中大致画一下，看有没有多余的 或漏掉的点．
求曲线方程的常用方法
(1)直接法：也叫直译法，即根据题目 条件，直译为关于动点的几何关系，再利用 解析几何的有关公式进行整理、化简．
(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲 线的定义，可先设定方程，再确定其中的基 本量．
(3)待定系数法：根据条件能知道曲线 方程的类型，可设出其方程形式，再根据条 件确定待定的系数．
[解析] 以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立直角坐 标系如图，则 A(－3,0)，B(3,0)，
设 M(x，y)，则由M→A·M→B＝－1 得，(－3－x，－y)·(3－x， －y)＝－1，
∴x2＋y2＝8 为所求.
[例 2] 已知△ABC 的两个顶点坐标为 A(－2,0)，B(0， －2)第三个点 C 在曲线 y＝3x2－1 上移动，求△ABC 重心的 轨迹方程．(注：设△ABC 顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，则△ABC 重心坐标为 G(x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3)．)
[解析] 设C(x1，y1)，重心G(x，y)， 由重心坐标公式得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2 ＋y1，
即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2， ∵C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上， ∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
化简得y＝9x2＋12x＋3.
故△ABC的重心的轨迹方程为y＝9x2＋ 12x＋3.(不包括和直线AB的交点)
[解析] 解法一：如图所示，设点 A(a,0)，B(0，b)，M(x，
y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a＝2x，b＝2y，即 A(2x,0)，
B(0,2y)．因为 l1⊥l2，所以 kAP·kPB＝－1.而 kAP＝24－－20x(x≠1)，
kPB＝42－－20y，
[点评] 1.直译法求轨迹方程是常用的 基本方法，大多数题目可以依据文字叙述的 条件要求，直接“翻译”列出等式整理可 得．
已知⊙O：x2＋y2＝4，P 为⊙O 上任一点，M 在 OP 上， 使得O→M＝3M→P，求点 M 的轨迹方程．
[例3] 求(x－1)2＋
[解析] 设所求对称曲线上任一点的坐标为(x，y)，它关
于 x＋y＝0 的对称点为(x1，y1)，根据对称定义知：
[例5] 已知点A(0,3)点B(3,0)，若曲线C：y＝－x2＋mx－1 与线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围．
[误解] 线段 AB 所在直线方程为 x＋y－3＝0. 由xy＋ ＝y－－x32＋＝m0，x－1 消去 y 得 x2－(m＋1)x＋4＝0. 因为有两个不同的交点，所以方程 x2－(m＋1)x＋4＝0 有两个不同的实数根， 所以有 Δ＝(m＋1)2－4×1×4>0.解之得 m>3 或 m<－5. 故所求 m 的取值范围是 m>3 或 m<－5.
[辨析] 错误的原因是线段AB，而不是 直线AB.可以求出AB的方程式x＋y＝3，线段 AB的方程为x＋y－3＝0(0≤x≤3)，若抛物线与 线段AB有两个不同交点，等价于两方程组成 的方程组在[0,3]内有两组不同实数解，可借 助一元二次方程根的分布来解决．
[正解] 由错解知，x2＝(m＋1)x＋4＝0 则有
x1＋2 x＋y1＋2 y＝0 yx11－ －yx＝1
，解得xy11＝ ＝－ －yx
∵(x1，y1)在(x－1)2＋(y－1)2＝1上， ∴(x1－1)2＋(y1－1)2＝1 ∴有(－y－1)2＋(－x－1)2＝1， 即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
[点评] 代入法适用于所求动点与另一动点有密切联 系，(这两个动点可通过具体式子联系起来)，而另一个动 点在已知定曲线上运动(或者另一个动点的几何条件好找的 情形).
(6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时， 可由方程直接消去参数，例如求动直线的交 点时常用此法，也可以引入参数来建立这些 动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方 程．
练习
1．解析几何研究的主要问题
(1)根据已知条件表，示求曲出线的方程
；
(2)通过曲线的方程曲，线研的究性质
．
2．求曲线的方程的步骤
[例1] 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线 段AB的中点M的轨迹方程．
2．解题过程中，要注意使用某种形式 时是否受到某些条件的限制而丢掉个别点， 如使用斜率求解时限制条件是斜率存在，因 而可能漏掉斜率不存在的点．必须找一找是 否漏掉了．有时也可能使范围扩大了，多出 了不合要求的点，要通过最后的检验“防失 去伪”．
已知两个定点 A、B 的距离为 6，动点 M 满足条件M→A·M→B ＝－1，求点 M 的轨迹方程．
(4)代入法：动点M(x，y)随着动点P(x1， y1)的运动而运动，点P(x1，y1)在已知曲线C 上运动，可根据P与M的关系用x，y表示x1， y1，再代入曲线C的方程，即可得点M的轨 迹方程．
(5)参数法：选取适当的参数，分别用 参数表示动点坐标x，y，得出轨迹的参数方 程，消去参数，即得其普通方程．
[例4] 设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原 点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹 方程．
方法四：参数法． 设动弦 PQ 的方程为 y＝kx 代入圆方程得(x－1)2＋k2x2＝1 即(1＋k2)x2－2x＝0 ∴x＝x1＋2 x2＝1＋1 k2，y＝kx＝1＋k k2消去 k 即可．
[点评] 本题中的四种方法都是求轨迹方程的常用方 法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目的条件，恰当选取 方法．