第四章概率论习题__奇数.doc1 某批产品共有M 件，其中正品N 件（0N M ≤≤）。

从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了n 次（1n ≥）。

试求这n 次中抽到正品的平均次数。

解 每次抽到正品的概率为：N M ，放回抽取，抽取n 次，抽到正品的平均次数为：N n M3设随机变量X 的概率密度为()()21,1f x x R x π=∈+ ，这时称X 服从标准柯西分布。

试证X 的数学期望不存在。

解 由于：2021()2ln(1)|(1)x x f x dx dx x x ππ+∞+∞+∞-∞==+=+∞+⎰⎰所以X 的数学期望不存在。

5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为p （01p <<）。

n η表示到时刻n 为止质点向右移动的次数，n S 表示在时刻n 时质点的位置，1n ≥。

求n η与n S 的期望。

解 每次向右移动的概率为p ，到时刻n 为止质点向右移动的平均次数，即n η的期望为：()n E np η=时刻n 质点的位置n S 的期望为：()(1)(21)n E S np n p n p =--=- 7 某信号时间长短T （以秒计）满足：{}()112tt P T t e e -->=+，0t ≥。

用两种方法求出()E T 。

解 方法 1：由于(0)1P T ≥=，所以T 为非负随机变量。

于是有：13()(1())()(1)24t t E T F t dt P T t dt e e dt +∞+∞+∞--=-=>=+=⎰⎰⎰方法二：由于(0)1P T ≥=，所以，可以求出T 的概率函数：0,0()1(12),02t tt f t e e t --<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ 于是03()()()4E t t f t dt tf t dt +∞+∞-∞===⎰⎰ 9已知一根长度为1的棍子上有个标志点Q ，现随机的将此棍子截成两段。

（1）求包含Q 点的那一段棍子的平均长度（若截点刚好在Q 点，则认为Q 包含在较短的一截内）；（2）当Ｑ位于棍子何处时，包含Ｑ点的棍子平均长度达到最大？解 设棍子上的点是在[0,1]之间的，Q 点的位置距离端点0的长度为q 。

设棍子是在t 点处跌断，t 服从[0,1]的均匀分布。

于是：包含Q 点的棍子长度为T ，则：,11,0min(,1),t q t T t t q q q t q <<⎧⎪=-≤<⎨⎪-=⎩，1q t ≤≤于是包Q 点的那一段棍子的平均长度为：11201()(1)2q qE T Tdx t dt tdt q q ==-+=+-⎰⎰⎰ 11、为诊断５００人是否有人患有某种疾病，抽血化验。

可用两种方法：（Ｉ）每个人化验一次；（II ）分成ｋ人一组（共５００／ｋ组，假设500k为正整数，1k >）。

将每组ｋ人的血样集中起来一起检验，如果化验结果为阴性，则说明组内的每人都是阴性，就无需分别化验。

若检验结果为阳性，则说明这ｋ人中至少有一人患病，那么就对该组内的ｋ人再单独化验。

如果此病的得病率为３０％，试问哪种方法的检验次数相对少些？ 解 (I)每个人化验一次，需要化验500次 （II ）分成k 组，对每一组进行化验一共化验500k次，每组化验为阳性的概率为：10.7k-，若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k 次，于是该方法需要化验的次数为：500(1(10.7))k k k+-。

将（II ）的次数减去（I ）的次数，得：5001(1(10.7))500500(0.7)k k k k k+--=- 于是：当10.70k k -<时，第二种方法检验的次数少一些；当10.70k k->时，第一种方法检验的次数少一些；当10.70kk-=时，二种方法检验的次数一样多。

13、某电子监视器的圆形屏幕半径为r （0r >），若目标出现的位置点Ａ服从均匀分布。

设Ａ的平面直角坐标为(),X Y 。

（１）求()E X 与()E Y ；（２）求点Ａ与屏幕中心位置()0,0的平均距离。

解 由题意知：21,,(,)0x y f x y r π⎧⎪=⎨⎪⎩在圆内，其他值，2,()0X r x r f x r π⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，其他值，2,()0Y r y rf x r π⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，其他值（1） 计算可得2()()0rrE X E Y xdx rπ-===⎰（2） A 的位置是(),x y ，距中心位置（0，0离为：22223x y r rE +≤==⎰⎰15、接第13题，求当横坐标为2r 时，纵坐标Y 的条件期望。

解|1,(,)(|)2()0Y X X y f x y f y x rf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩，其他值|1(,),(|2220(2Y X X r rf y y f y r ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩，其他值于是：221(|)022rr E Y X ydy r-===⎰17、某技术考试，成绩必为0,1，…，10这11个数之一，而且考生取得每个成绩的可能性相同。

第一次考试，若考生成绩为X ，然后需继续参加下一次考试，直到他获得的成绩Y 不低于第一次考试为止。

记第一次考试后，又进行了Z 次才通过第二次考试。

由于每次考题都是在题库中随机抽取的，所以所有考试均相互独立。

（1）求最终的平均成绩()E Y ；（2）求()E Z 。

解：由题意知 1()11P X k ==，其中0,1,2,10k =。

于是 (,)0,1,,11P Y k X i i k ====+11(,)()(|),0,1,,1111P Y k X i P X i P Y k X i i k i=======⋅=-从而011()(,)1111kki i P Y k P Y k X i i =======⋅-∑∑于是：10001()7.511kk i E Y ki====-∑∑ 又11011(11)()11k k i i i P Z k --=-==∑ 从而10111()() 3.02(11)k i E Z P Z k k i ∞======-∑∑19、随机变量X 服从Gamma 分布，概率密度函数为()()1xf x x e ααλλα--=Γ，0x >，其中，0α>称为“形状参数”，0λ>称为“尺度参数”。

求()k E X （1k ≥）和()D X 。

解 10()(),(1)()()a kkx k k E X x x e dx k αλλααλα∞--Γ+==≥ΓΓ⎰211222200(2)(1)()[][]()()()()a a x x D X x x e dx x x e dx αλαλλλαααααλαλαλ∞∞----Γ+Γ+=-=-=ΓΓΓΓ⎰⎰21、机器处于不同状态时制造产品的质量有所差异。

如果机器运作正常，则产品的正品率为98%；如果机器老化，则产品的正品率为90%；如果机器处于需要维修的状态，则产品的正品率为74%。

机器正常运作的概率为0.7，老化的概率为0.2，需要维修的概率为0.1.先随机抽取了100件产品（假设生产这些产品的机器的状态相互独立），求 （1）产品中非正品数的期望与方差；（2）在已知这些产品都是正常机器制造出来的条件下，求正品数的期望和方差。

解 (1)设p 表示从产品取到非正品的概率，于是有：(198%)*0.70.2*(190%)0.1*(174%)0.06p =-+-+-=，用X 表示产品中非正品数，X 服从二项分布B(100，0.06)，有：100()()1000.066k E X kP X k ====⨯=∑()100(1) 5.64D X p p =-=（参考77页的例4.2.5）（3） 用Y 表示在该条件下正品数，Y 服从二项分布B(100,0.98)，于是()1000.9898E Y =⨯=()1000.98(10.98) 1.96D X =⨯⨯-=23、设随机变量X 和Y 独立，且方差存在，证明：22()()()(())()(())()D XY D X D Y E X D Y E Y D X =⋅+⋅+⋅解 证明：22222222222222()(())(())()(())()()(()())(,()())((())()()()()(())()(())()D XYE XY E XY E X Y E XY E X E Y E X E Y X Y D X E X D Y E Y E X E Y D X D Y E X D Y E Y D X =-=-=-+⋅+-=⋅+⋅+⋅由于相互独立)=(25、接第20题，（1）求X 与X 的相关系数，并判断两者是否相关； （2）判断X 与X 是否独立？解（1）由相关系数的定义，得：X X ρ=，其中(,)()()()Cov X X E X X E X E X =-通过计算得(,)0Cov X X =，即0X X ρ=，从而说明,X X 是不相关的。

（2）很显然，X X 与不是相互独立的。

27、随机三角形ABC ，角A 与角B 独立同分布，其分布律均为A /3π /4π /6πP λ θ 1λθ--其中0λ>，0θ>，且满足1λθ+<。

已知()1sin (cos )8E A E A ==。

（1）写出(),A B 的联合分布律； （2）求()sin E C ；（3）求角A 与角C 的相关系数，并由此判断它们的相关性（若相关，要求说明是正相关还是负相关）。

解（1）由题意得：()(1)3466612E A ππππππλθλθλθ=++--=--(sin )sinsinsin6612E A πππλθ=--，(cos )coscoscos6612E A πππλθ=--结合已知条件，可求出：14λ=，12θ= 由于A 和B 是独立同分布的，于是（A,B ）的联合分布律为： A B 3π 4π 6πP(A=i)3π1/16 1/8 1/16 1/4 4π1/8 1/4 1/8 1/2 6π1/16 1/8 1/16 1/4（2）2(sin )(sin())(sin cos )(cos sin )(sin )(cos )(cos )(sin )0.966E C E B A E B A E B A E B E A E B E A =+=+=+=≈ （3）AC ρ=，其中(,)(,)(,)ov(,)(,)()Cov A C Cov A A B Cov A A C A B Cov A A D A π=--=-+-=-=- ()()()()2()D C D A B D A D B D A π=--=+=所以：AC ρ==，说明A 和C 是负相关的。