3.建模方法之二：曲线拟合法
曲线拟合，就是通过实验获得有限对测试 数据（xi, yi）,利用这些数据来求取近似 函数y= f ( x )。式中x为输出量，y为被 测物理量。与插值不同的是，曲线拟合并 不要求y= f ( x )的曲线通过所有离散点 （xi, yi），只要求y= f ( x )反映这些离 散点的一般趋势，不出现局部波动。
模型方法来校正系统误差的最典型应用是 非线性校正。
1．校正函数法
如果确切知道传感器或检测电路的非线性特 性的解析式y = f(x)，则就有可能利用基于 此解析式的校正函数（反函数）来进行非线 性校正。
例：某测温热敏电阻的阻值与温度之间的 关系为
R T R 25Ce / T f (T)
第四章 智能仪器的基本数据处理算法
基本数据处理算法内容提要
消除系统误差的算法、非线性校正 工程量的标度变换。 诸如频谱估计、相关分析、复杂滤波等
算法，阅读数字信号处理方面的文献。
第二节 消除系统误差的软件算法
系统误差:是指在相同条件下，多次测量同
一量时其大小和符号保持不变或按一定规律 变化的误差。 恒定系统误差:校验仪表时标准表存在的固有 误差、仪表的基准误差等； 变化系统误差:仪表的零点和放大倍数的漂移、 温度变化而引入的误差等； 非线性系统误差:传感器及检测电路（如电桥） 被测量与输出量之间的非线性关系。 常用有效的测量校准方法，这些方法可消除 或消弱系统误差对测量结果的影响。
温度本身就是一个需要检测的量，或在传感器内 靠近敏感元件处附加一个测温元件(PN二极管、 热敏电阻)等。它们的某些特性随温度而变化， 经测温电路、ADC后可转换为与温度有关的数字 量，设为θ。
温度误差数学模型的建立，可采用前面已介绍的 代数插值法或曲线拟合法等。
a0

1(
n
n
x
2 i
yi
i1
i1

n
n
xi xiyi
i1 i1
)
分段直线拟合
a1

1
(
n
n
i1
x i yi

n i1
xi
n i1
yi )
分段n次曲线 拟合
n
n
n
x
2 i
(
xi )2
i 1
i 1
三、系统误差的标准数据校正法
当难以进行恰当的理论分析时，未必 能建立合适的误差校正模型。但此时 可以通过实验，即用实际的校正手段 来求得校正数据，然后把校正数据以 表格形式存人内存。实时测量中，通 过查表来求得修正的测量结果。
A1=Vr/（X1-X0）
A0=Vr X0/（X0-X1）
这种校正方法测得信号与放大器的漂移和增益变 化无关，降低了对电路器件的要求，达到与Vr等 同的测量精度。但增加了测量时间。
二、系统非线性校正
传感器的输出电信号与被测量之间的关系呈非 线性 ；仪器采用的测量电路是非线性的 。
模型方法来校正系统误差的最典型应用是非线性校正。
n
n
m
(a 0 , a1,, a m )
Vi2
[yi
a
j
x
j i
]2

min
i1
i1
j0

ak
n
2
i1

y i

2
n j 1
a j
xj i

xk i

0
n

xi
xi
x
2 i


最常用的多项式插值有： 线性插值和抛物线（二次）插值。
(1).线性插值：从一组数据（xi, yi）中选取 两个有代表性的点（x0, y0）和（x1, y1），然 后根据插值原理，求出插值方程 y
P1(x)

x x1 x0 x1
y0

x x0 x1 x0
y1

a1x

a0
a1

y1 x1
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
y2
y
y2
P（X）
y1
y0
f（x）
x0
x1 x2
x
现仍以表4.1所列数据说明抛物线插值的个 体作用。节点选择（0，0），（10.15，250） 和（20.21，490）三点
P2
(x)

x(x 20.21) 10.15(10.15 20.21)
②.不等距节点分段插值对于曲率变化大的 非线性特性，若采用等距节点的方法进行 插值，要使最大误差满足精度要求，分段 数N就会变得很大（因为一般取n≤2）。这 将使多项式的系数组数相应增加。此时更 宜采且非等距节点分段插值法。即在线性 好的部分，节点间距离取大些，反之则取 小些，从而使误差达到均匀分布 。
一、仪器零位误差和增益误差的校正方法
由于传感器、测量电路、放大器等不可避 免地存在温度漂移和时间漂移，所以会给 仪器引入零位误差和增益误差。
需要输入增加一个多路开关电路。开关的状 态由计算机控制。
1．零位误差的校正方法
在每一个测量周期或中断正常的测量过程中， 把输入接地(即使输入为零)，此时整个测量 输入通道的输出即为零位输出(一般其值不 为零)N0；再把输入接基准电压Vr测得数据 Nr，并将N0和Nr存于内存；然后输入接Vx， 测得Nx，则测量结果可用下式计算出来。

250

x(x 10.15) 20.21(20.21 10.15)

490
0.038 x2 25.02 x
可以验证，用此方程进行非线性较正，每点误 差均不大于3℃，最大误差发生在130℃处，误 差值为2.277℃
提高插值多项式的次数可以提高校正准确度。 考虑到实时计算这一情况，多项式的次数一般
(2)抛物线插值（二阶插值）：
在一组数据中选取（x0, y0），（x1, y1）， （x2, y2）三点，相应的插值方程
P2
(
x)

(x (x0

x1)(x x2) x1)(x0 x2)
y0

(x (x1

x0 x0
)(x x2) )(x1 x2)
y1

(x (x2

RT为热敏电阻在温度为T的阻值；
ln RT ln( R 25C ) / T
T / ln[(RT /( R25C )] F(RT ) z T F(N / k) / ln[N /(k R25C )]
α 和β 为常数，当温度在0～50℃之间分 别约为1.44×10-6和4016K。
最小二乘法连续函数拟合
自变量x与因变量y之间的单值非线性关系可以自变量 x的高次多项式来逼近
y a0 a1x amxm
对于n个实验数据对（xi，yi）（i =1，2，…，n）， 则可得如下n个方程
y1 (a0 a1x1 a mx1m ) V1
y2 (a0 a1x2 a mx2m ) V2 yn (a0 a1xn a mxn m ) Vn


x
m i
x
m1 i

x
m i

x
m1 i



x
2m i


a 0 a1 a m



yi xi yi
x
m i
y
i

解即为aj（j = 0，…，m）的最佳估计值
拟合多项式的次数越高，拟合结果的精度也就 越高，但计算量相应地也增加。若取m = 1， 则被拟合的曲线为直线方程 y = a0 + a1x n个实验数据对（xi，yi）（i = 1，2，…，n），
2、建模方法之一：代数插值法

代数 (x1,
插值：设有n + y1)，…，(xn,
y1n)组，离x∈散[点a，：b(]x和0,未y知0)，
函数f(x)，就是用n次多项式
Pn (x) a n xn a n1xn1 a1x a0
去逼近f(x)，使Pn(x)在节点xi处满足
Pn (xi ) f (xi ) yi i 0, 1, , n
实测值介于两个校正点之间时，若仅是直 接查表，则只能按其最接近查找，这显然 会引入一定的误差。
可进行如下误差估计，设两校正点间的校 正曲线为一直线段，其斜率S=△X／△Y(注 意，校正时Y是自变量，X是函数值)，并设 最大斜率为Sm，可能的最大误差为 △Xm=Sm△Y，设Y的量程为Ym，校正时取等 间隔的N个校正点，则△Xm=SmY/N
Vx

Vr Nr No
(NxNo)ຫໍສະໝຸດ 2．增益误差的自动校正方法
其基本思想是测量基准参数，建立误差校正模型， 确定并存储校正模型参数。在正式测量时，根据 测量结果和校正模型求取校正值，从而消除误差。
需要校正时，先将开关接地，所测数据为X0，然 后把开关接到Vr，所测数据为X1，存储X0和X1， 得到校正方程：Y=A1X+A0
在表4.1中所列的数据中取三点（0，0）， （10.15，250），（20.21，490），并用 经过这三点的两个直线方程来近似代替整 个表格。通过计算得：
24.63x P1(x) 23.86x 7.85
0 x 10.15 10.15 x 20.21
可以验证，用这两个插值多项式对表4.1中所列的数据 进行非线性校正时，第一段的最大误差发生在130℃处 ，误差值为1.278℃，第二段最大误差发生在340℃处， 误差1.212℃。显然与整个范围内使用抛物线插值法相 比，最大误差减小约1℃。因此，分段插值可以在大范 围内用较低的插值多项式（通常不高于二阶）来达到很 高的校正精度。