解：据奇函数关于原点对称， ；
又因为 在 是单调递增，所以 ；
对所有的 都成立；
因此，只需 大于或等于 在 上的最大值1，
；又∵对所有的 都成立，
即关于 的一次函数在 上大于或等于0恒成立，
即： ．
利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题．
4、根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数 是奇（偶）函数，则对一切定义域中的 ： （ ）恒成立；若函数 的周期为 ，则对一切定义域中的 ： 恒成立．
关于函数恒成立问题的解题
恒成立问题
二、恒成立问题解决的基本策略
A、两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1： 在 上恒成立 ；
思路2： 在 上恒成立 ．
如何在区间 上求函数 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数 的最值．
三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法．
（一）换元引参，显露问题实质
例9．对于所有实数 ，不等式： 恒成立，
求 的取值范围．
解：因为 的值随着参数 的变化而变化，若设 ，
则上述问题实质是“当t为何值时，不等式 恒成立”；
这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于：
求解关于 的不等式组： ；
解得 ，即有 ，易得 ．
（二）分离参数，化归值域问题
例10．若对于任意角 总有 成立，求 的范围．
解：此式是可分离变量型，由原不等式得 ，
又 ，则原不等式等价变形为 恒成立．
故 必须小于 的最小值，这样问题化归为怎样求 的最小值．
由 ；
解：原不等式转化为： 在 时恒成立，
设 ，则 在 上恒大于0，
故有： 即 ，解得： ；
∴ 或 ，即 (－∞,－1)∪(3,+∞)．
2、二次函数型
例4．若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围．
解：由题意可知，当 时， 恒成立，
①当 且 时， ；此时， ，适合；
②当 时，有 即有 ；
综上所述， 的定义域为 时， ．
例 轴及其上方，如右图所示：
略解： ， ．
变式1：若 时， 恒成立，求 的取值范围．
分析：要使 时， 恒成立，
只需 的最小值 即可．
解： ，令 在 上的最小值为 ；
①当 ，即 时， ； ，而 ， 不存在；
②当 ，即 时， ， ；
又 ， ；
在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出，
要使对任意实数 ，不等式 恒成立，
只需 ；故实数 的取值范围是 ．
本题中若将“ ”改为“ ”；同样由图象可得 ．
利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
5、直接根据图像判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷．
例8．对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
分析：转化为求函数 的最小值，画出此函数的图像即可求得 的取值范围．
解：令 ；
（六）分类讨论，避免重复遗漏
例15．当 时，不等式 恒成立，求 的范围．
解：使用 的条件，必须将 分离出来，此时应对 进行讨论．
即 时，有最小值为0，故 ．
（三）变更主元，简化解题过程
例11．若对于 ，方程 都有实根，求实根的范围．
解：此题一般思路是先求出方程含参数 的根，再由 的范围来确定根 的范围，但这样会遇
到很多麻烦，若以 为主元，则 ，
由原方程知 ，得 ；
又 ，即 ；解之得 或 ．
（四）图象解题，用好数形结合
例12．设 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围．
例6．已知三个不等式：① ，② ，③ ．要使同时满足①②的所有 的值满足③，求 的取值范围．
略解：由①②得 ，要使同时满足①②的所有 的值满足③，
即不等式 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，又 在 上大于9；
所以： ．
例7．函数 是奇函数，且在 上单调递增，又 ，若 对所有的 都成立，求 的取值范围．
③当 ，即 时， ， ；
又 ， ；
综上所述， ．
变式2：若 时， 恒成立，求 的取值范围．
法一：分析：题目中要证明 在 上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间 时恒大于等于0的问题．
略解： ，
即 在 上成立；
① ，
；
② ； ；
3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于 取值范围内的任何一个数都有： 恒成立，则 ；若对于 取值范围内的任何一个数，都有： 恒成立，则 ．
此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．
C、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略
1、一次函数型
若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷．
给定一次函数 ，若 在 内恒有 ，则等价于： ；同理，若在 内恒有 ，则等价于： ．
例3．对于满足 的所有实数 ，求使不等式 恒成立的 的取值范围．
解：若设 ，则 表示为上半圆．
设 ，为过原点， 为斜率的直线．
在同一坐标系内作出函数图像；
依题意，半圆恒在直线上方时，只有 时成立，
即 的取值范围为 ．
例13．当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
解：设 ， ，则 的图像为右图是抛物线；
要使对一切 ， 恒成立，显然 ，
并且必须也只需当 时， 的函数值大于等于 的函数值；故 ， ．
（五）合理联想，运用平几性质
例14．不论 为何实数，直线 与曲线 恒有交点，
求 的范围．
解： ，C（a，0），
当 时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A（0，1）必在圆上或圆内，
即点A（0，1）到圆心距离不大于半径，则有 ，得 ．
评析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，
用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A（0，1），曲线为圆．