第三节 第四节
第五节 分部积分法
教学内容：分部积分法
教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取
v u ',，熟练掌握分部积分法的步骤。
教学重点：分部积分法及其应用
教学难点：在分部积分法中，恰当选取v u ',。
教学学时：1学时 教学进程：
我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式→不定积分公式；复合函数的求导公式→换元积分公式；乘积求导公式→分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。
1引入
用我们已经掌握的方法求不定积分⎰
⋅xdx x cos
分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔ ③第二类换元积分法 解：不妨设 t x t x arccos cos ==则 原方程dt t
t t ⎰
--⋅
⋅2
11arccos 更为复杂
所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设v u ,为两个具有连续导数的函数）
已知： '')'(uv v u v u +=⋅
对上式两边积分得：⎰⎰
+=+dx uv vdx u C uv '' 移项得：
⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''
观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰
dx uv '中v '为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C
x x x xdx
x x x dx
x x xdx
x ++=-==
↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样
先要化的和要求积分的
通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。
其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2 公式
设函数)(x u u =和)(x v v =都具有连续的导数，则有分部积分公式：
⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''（或⎰⎰-=vdu uv udv ）
3 例题讲解
例1．计算不定积分dx xe x ⎰
．
解 设 x u = ，x e v ='，则1='u ，x
e v =（*），
于是
x x x x
xe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰
x x xe e C =-+． 注意：
（1）（*）处没有加C ，这是因为我们取了最简单的情况0=C 。
（2）若设x
e u =,xdx dv =，则
dx e x e x dx xe x x x
⎰⎰-=222
121， 积分dx e x x
⎰
2比积分⎰
dx xe x
要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择v u ',非常关键，一般要考虑下列两点： （1）v 要易求；
（2）积分⎰'vdx u 要比积分⎰
'dx v u 易计算．
练习：求⎰
xdx x sin
例2．计算不定积分⎰
xdx ln
分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作x ln 1⋅即可。
解：设x u ln =，1='v ，则x
u 1
='，x v =， 于是
C
x x x dx
x
x x x xdx
xdx +-=⋅-==⎰⎰⎰ln 1
ln ln ln
注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。
例3．计算不定积分⎰
xdx x arctan 。
解 设x v x u ='=,arctan ；则2
2
21,11x v x u =+=
',
于是 ⎰xdx x arctan dx x x x x ⎰
+-=222121arctan 21dx x x x x ⎰+-+-=1
1121arctan 21222
dx x x x ⎰+--=
)111(21arctan 2122211
arctan (arctan )22x x x x C =--+ 211
(1)arctan 22x x x C =+-+
练习：求⎰xdx arcsin 。
例 4. 计算不定积分2x x e dx ⎰
．
解 设 2u x = ，x
e v ='，则x u 2='，x
e v =， 于是
2222x x x x x e dx x de x e xe dx ==-⎰⎰⎰
22[]x x x x e xe e dx =--⎰
222x
x
x
x e xe e C =-++
注意： 如果要两次分部积分，选取v u ',要一致，否则会还原．
例5．计算不定积分xdx e x sin ⎰
．
解：
xdx
e x e x e xdx e x e xde xdx
e x x x x
x
x
x sin cos sin cos sin sin sin ⎰⎰⎰⎰--=-==
好像进入了死胡同，实则不然，令I xdx e x =⎰
sin ,则上式变为：
)2
(,)cos sin (21cos sin 2cos sin 11C C C x e x e I C x e x e I I
x e x e I x x
x x x x =+-=
+-=--=其中则
练习：求⎰
xdx e x cos 。
从这几个典型例题可以看到，一般情况下， v u ',可按下列规律选择： （1）形如,
sin kxdx x n ⎰,cos kxdx x n ⎰，dx e x kx
n ⎰（其中n 为正整数）的不定积分，令
n x u =，余下的凑成v '。
（2）形如xdx x n ln ⎰，xdx x n arcsin ⎰，xdx x n arctan ⎰
时，令n
x v ='，余下的凑成u 。
（3）形如bxdx e bxdx e ax ax cos ,sin ⎰
⎰ 的不定积分，可以任意选择u 与v '，但由于要
使用两次分部积分公式，两次选择u 与v '应保持一致，只有这样才能出现循环公式并求出积分。
说明
（1）用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取u 及v '，使v u '更加便于积分． （2）一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法．
例6．求dx e x I x
n n ⎰=
的递推公式，其中n 为正整数，并求出32
1
,,I I
I 。
解：111----=-=-==⎰⎰
⎰
n x n x n x n x
n x
n x n n nI e x dx e x n e x dx e nx e x dx e x I
因此可得dx e x I x
n n ⎰=
的递推公式为
),3,2,1(,1 =-=-n nI e x I n x
n n
其中C e dx e I x x +==⎰
0，那么有
101C e xe I xe I x
x x +-=-=
22122222C e xe e x I e x I x
x x x ++-=-=
3232336633C e xe e x e x I e x I x
x x x x +-+-=-=
例7．计算不定积分dx e x
⎰
．
解
dx e
x
⎰dt te tdt e t t t
x ⎰⎰====222t tde =⎰)(2⎰-=dt e te t t
c e te t
t +-=222C =-+
4小结
1、分部积分公式
2、在分部积分的公式中，v u ',的选取。
3、结合其他的积分方法灵活的使用公式。
作业：习题4－3（132P ）1、4、5、7、8、9、10。