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和平行 x 轴的虚线之间(包括 x 轴和虚线)有磁感应强度大小为 B1=2× 10—2T、方向垂直纸面向 里的匀强磁场，虚线过 y 轴上的 P 点，OP=1.0m，在 x≥O 的区域内有磁感应强度大小为 B2、 方向垂直纸面向外的匀强磁场。许多质量 m=1.6× 10—25kg、电荷量 q=+1.6× 10—18C 的粒子，以 相同的速率 v=2× 105m/s 从 C 点沿纸面内的各个方向射人磁感应强度为 B1 的区域，OC=0.5 m．有一部分粒子只在磁感应强度为 B1 的区域运动，有一部分粒子在磁感应强度为 B1 的区域 运动之后将进入磁感应强度为 B2 的区域。 设粒子在 B1 区域运动的最短时间为 t1， 这部分粒子 进入磁感应强度为 B2 的区域后在 B2 区域的运动时间为 t2，已知 t2=4t1。不计粒子重力．求： (1)粒子在磁感应强度为 B1 的区域运动的最长时问 t0=? (2)磁感应强度 B2 的大小? 分析与解： （1）设粒子在磁感应强度为 B1 的区域做匀速圆周运动的半径为 r，周期为 T1， 则 r =r=mv/qB1 ……（1 分）, r = 1.0 m ……（1 分） ； T1 ==2 π m /qB1…… （1 分） 由题意可知，OP = r，所以粒子沿垂直 x 轴的方向进入时，在 B1 区域运动的时间最长为 半个周期，即 t0 =T1/ 2 ……（2 分） ， 解得 t0 = 1.57× 10–5 s ……（2 分） （2）粒子沿+x 轴的方向进入时，在磁感应强度为 B1 的区域运动的时间最短，这些粒子 在 B1 和 B2 中运动的轨迹如图所示，在 B1 中做圆周运动的圆心是 O1，O1 点在虚线上，与 y 轴的交点是 A，在 B2 中做圆周运动的圆心是 O2，与 y 轴的交点是 D，O1、A、O2 在一条直线 上。 1 由于 OC = r ……（1 分） ；所以∠AO1C = 30°……2 分） 2 则 t1=T1/12 ……（2 分） 设粒子在 B2 区域做匀速圆周运动的周期为 T2，则 2m T2 = ……（1 分） qB2 由于∠PAO1 =∠OAO2 =∠ODO2 = 30°……（1 分） 所以∠AO2D = 120°……（2 分） 2 则 t2 = T2 ……（2 分） ，由 t2 = 4 t1 ， 解得 B2 = 2B1 ……（1 分） ．B2 = 4× 10–2 ……（1 3 分） 5． 如图所示， 在 xoy 坐标平面的第一象限内有一沿 y 轴正方向的匀强电场,在第四象限内 有一垂直于平面向外的匀强磁场．现有一质量为 m，电荷量 为 q 的负粒子（重力不计）从坐标原点 o 射入磁场，其入射 方向与 y 轴负方向成 45° 角． 当粒子运动到电场中坐标为 （3L， L）的 P 点处时速度大小为 v0，方向与 x 轴正方向相同．求： （1）粒子从 O 点射人磁场时的速度 v． （2）匀强电场的场强 E （3）粒子从 O 点运动到 P 点所用的时间． 解： （1）v=v0/cos45° = 2 v0 （2）因为 v 与 x 轴夹角为 45° ，由动能定理得： 1 2 1 2 mv 0 mv q E L, 解得 E =mv02/2qL 2 2 1 2 （3）粒子在电场中运动 L = at 2 ，a =qE/m 解得： 2 t2=2L/v0 粒子在磁场中的运动轨迹为 l/4 圆周，所以
带电粒子在电、磁场中的运动 90 道计算题详解
1．在图所示的坐标系中，x 轴水平，y 轴垂直，x 轴上方空间只存在重力场，第Ⅲ象限存 在沿 y 轴正方向的匀强电场和垂直 xy 平面向里的匀强磁场，在第Ⅳ象限由沿 x 轴负方向的匀 强电场，场强大小与第Ⅲ象限存在的电场的场强大小相等。一质量为 m，带电荷量大小为 q 的质点 a，从 y 轴上 y=h 处的 P1 点以一定的水平速度沿 x 轴负方向抛出，它经过 x= -2h 处的 P2 点进入第Ⅲ象限， 恰好做匀速圆周运动， 又经过 y 轴上方 y= -2h 的 P3 点进入第Ⅳ象限，试求： ⑪质点 a 到达 P2 点时速度的大小和方向； ⑫第Ⅲ象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强 度的大小； ⑬质点 a 进入第Ⅳ象限且速度减为零时的位置坐标 解． （2 分）如图所示。 （1）质点在第Ⅱ象限中做平抛运动，设初速度为 v0，由 1 h gt 2 ……① （2 分） 2 2h=v0t…… ② （2 分） 解得平抛的初速度 v0 2 g h （1 分） 在 P2 点，速度 v 的竖直分量 vy gt 2 gh （1 分） 所以， v=2 gh ，其方向与 x 轴负向夹角 θ=45° （1 分） （2）带电粒子进入第Ⅲ象限做匀速圆周运动，必有 mg=qE……③ （2 分） 又恰能过负 y 轴 2h 处，故 P2 P 3 为圆的直径，转动半径 R= 又由 分） （3）带电粒以大小为 v，方向与 x 轴正向夹 45° 角进入第Ⅳ象限，所受电场力与重力的 合力为 2mg ，方向与过 P3 点的速度方向相反，故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大 小为 a，则： 2mg v2 4 gh 2 2 ； 由 O v 2as, 得s a 2 g …… ⑥（2 分） 2h （2 m 2a 2 2 g 分） 由此得出速度减为 0 时的位置坐标是 h, h （1 分） 2．如图所示的坐标系，x 轴沿水平方向，y 轴沿竖直方向 在 x 轴上空间第一、第二象限内，既无电场也无磁场，在第三 象限，存在沿 y 轴正方向的匀强电场和垂直 xy 平面（纸面）向 里的均强磁场，在第四象限，存在沿 y 轴负方向、场强大小与 第三象限电场场强相等的匀强电场。一质量为 m、电荷量为 q 的带电质点，从 y 轴上 y=h 处的 P1 点以一定的水平初速度沿 x 轴负方向进入第二象限。 然后经过 x 轴上 x= -2h 处的 P2 点进入
联立④⑥⑦式得 B
mv v2 mv 由 qvB = m ； 得： R = ．联立解得： B qB R 2qL ⑬质点在第二象限做平抛运动后第二次经过x轴，设下落的高度为h，则：h = 2 R－L = 3L 1 由 平 抛 运动 的 规律 有： h = gt 2 ； d vt ． 解 得 ： 2 6L d =v g 4．(20 分)如图所示，在 xOy 坐标系的第Ⅱ象限内，x 轴
y gt vy=gt……③（1 分）
2 2 vy 2 gh ……④（2 分） 求出 v vO
方向与 x 轴负方向成 45° 角……（1 分） （2）质点从 P2 到 P3，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向 心力 v2 Eq=mg……⑤（1 分） ； Bqv m ……⑥（2 分） R mg （2 分） ； 由⑤解得 E （2 (2R) 2 (2h) 2 (2h) 2 ……⑦ q 分）
m 2g ……（2 分） q h （3）质点进入等四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动. 当竖 直方向的速度减小到 0，此时质点速度最小，即 v 在水平方向的分量 vmin=vcos45° = 2gh ……（2 分） 方向沿 x 轴正方向……2 分） 3．如图所示，在xoy平面的第一、第三和第四象限内存在着方向竖直向上的大小相同的匀 强电场，在第一和第四象限内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m，电量为+q 的带电质点， 在第三象限中以沿x轴正方向的速度v做匀速直线运动， 第一次经过y轴上的M点， M点距坐标原点O的距离为L； 然后在第四象限和第一象限的电 磁场中做匀速圆周运动， 质点第一次经过x轴上的N点距坐标原 点O的距离为 3L 。已知重力加速度为g，求：⑪匀强电场的电 场强度E的大小。 ⑫匀强磁场的磁感应强度B的大小。 ⑬质点第 二次经过x轴的位置距坐标原点的距离d的大小。 解：⑪带电质点在第三象限中做匀速直线运动，电场力与 重力平衡，则：qE=mg 得：E=mg/q ⑫设质点做匀速圆周运动的半径为R，则： 解得：R=2L R 2 = (R－L) 2 + ( 3L) 2
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2 OP2 2
2 2h 2h …… ④（1 分） 2 v2 qvB m ……⑤ （2 分） ． 可解得 R
E =mg/q （1 分） ； B =
m 2g （2 q h
第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运动．之后经过 y 轴上 y= －2h 处的 P3 点进入第四象 限。已知重力加速度为 g．求： （1）粒子到达 P2 点时速度的大小和方向； （2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小； （3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向。 分析和解： 1 （1） 参见图,带电质点从 P1 到 P2， 由平抛运动规律 h gt 2 ……① （2 分） ； v0=2h/t……② 2 （1 分）