1
1.3 非线性波理论
1
2.5 非线性波理论
7) 各种波浪理论的适用范围 • 流场水质点速度变化 S-1: Stokes一阶 近似； S-4-1: Stokes四 阶近似，波速 一阶近似； S-4-2: Stokes四 阶近似，波速 二阶近似。
1
1.3 非线性波理论
• 流场水质点速度变化 d/gT2: 0.0365>0.0135 d/H: 3.35>3.27
A, B, C 的函数表可以参见 《海洋桩基平台》罗传信
《海洋工程波浪力学》竺艳蓉
1
1.2 非线性波理论
1
1.2 非线性波理论
算例
1
1.2 非线性波理论
3) 流场参数变化 • 波型变化
对于静止水面而言，上波峰增高，下波谷也增高；
峰谷关于时间轴对称性改变，波谷在时间轴上的跨距增大； 就整个波型来看，波谷趋于平坦，波峰趋于陡峭。 坦谷波。
水更浅，
波高增大。
1
1.3 非线性波理论
• 流场水质点速度变化 d/gT2: 0.0135>0.0071
d/H:
3.27>3.26 水更浅， 波高增大。
1
1.3 非线性波理论
• 流场水质点速度变化 d/gT2: 0.0071>0.0055
d/H:
3.26>3.08 水更浅， 波高增大。
1
1.3 非线性波理论
1
1.3 非线性波理论
椭圆余弦波理论
所谓椭圆余弦波是指水深 较浅条件下的有限振幅、 长周期波(长波)。 它之所以被称为椭圆余弦 波，是由于波面高度是用雅 可比椭圆余弦函数cn来表示的。
1
1.3 非线性波理论
根据椭圆余弦波理论，波长L、波高H、水深d符合下列关系：
波速c
整理后有
三者之间的函数关系可以通过查图表得到
1.2 非线性波理论
• 工程设计中，对于极端海况具有相当大的波陡，如，在北海， 百年一遇的波，波高为 32m ，相应的波长在 400m 左右， H/L达到 0.08，非线性影响是十分严重的。所以，海洋结构 物设计中通常须按高阶波理论计算。 • 目前，广泛应用的是基于摄动解的斯托克斯波 (Stokes) 理论、 椭圆余弦波(cnoidal) 理论、孤立波(solitary) 理论。 • 计算机和数值方法的发展，导致非线性波的速度势函数解不
自由表面运动学边界条件：
D u w u w z Dt t x z t x
Stokes利用波面在静水面(z=0)附近上下变动的性质，将
式中各项在静水面上按泰勒级数展开。并将和的小参 数展开式代入，比较各阶小参数i (i=1,2,3…)项的系数，
• 各种波浪理论的适用范围
1
1 2 p V gz 0 t 2
1.2 非线性波理论
边界条件

自由表面动力学边界条件： 2 2 1 1 p z ( x ,t ) g pair 0
t 2 x 2 z
2 2 0 2 4
其中
2 C0 g k th kd
1
1.2 非线性波理论
上式中
n

1
2 B22 4 B24 2 3 B33 5 B35 3 4 B44 4 5 B55 5
1 A11 3 A13 5 A15
波浪传入近岸浅水区(0.02<d/L<0.1)后，海底边界的影响迅速增加，波高和 波形将不断变化，波面在波峰附近变得很陡。而两波峰之间却相隔一段很长 但又较平坦的水面，两波峰处的水质点运动特性与波陡H/L的关系减弱，而与 相对波高H/d的关系增强，即且H/L和H/d都成为决定波动性质的主要因素。 在这种浅水情况下，即使取很高的阶数，用斯托克斯波理论也不能达到所 要求的精度。此时采用能反映决定波动性质的主要因素H/L和H/d的椭圆余弦 波理论描述波浪运动，可以取得较满意的结果。
U r 3 HL2 2d 3
容易看出，当Ur远大于1时，大, 小，即强非线性和浅水，适合椭圆余
弦波的浅水波理论。当Ur=O(1)时，即有, 相当，说明弱非线性和中等程度 的波长，适于采用stokes波理论。而当Ur远小于1时，有小，较大，相当于
水深与波长相比较大，波高又不太大的情形，这正是线性波理论的适用范围。
1
1.2 非线性波理论
• 波型变化
1.2 非线性波理论
• 水质点轨迹变化 与线性波不同，斯托克斯波的波速受波幅影响。各分量波 之间相互干扰并产生新的分量波，在共振条件下，新波不断从 原型波中吸收能量使自身波幅不断增长，因而存在不稳定性。 水质点不是简单地沿封闭
轨迹运动而是沿在波浪传播方
向上有一微小的纯位移,近似 于圆或椭圆的轨迹线运动。波 浪运动中有“质量迁移”现象。
2 A22 4 A24 2 3 A33 5 A35 3 4 A44 4 5 A55 5
A, B, C 均为 kd 的函数，有专门的对数表可以查得。
1
1.2 非线性波理论
令 c ch(kd )
s sh(kd ) 。
1
1.2 非线性波理论
1
1.3 非线性波理论
之间的函数关系
1
1.3 非线性波理论
1
1.3 非线性波理论
1
1.3 非线性波理论
1
1.3 非线性波理论
1
1.3 非线性波理论
1
1.3 非线性波理论
5) 孤立波
孤立波是仅有一个孤立波峰的非线性波。孤立波在传播过程中保持固定 波形，理论波长为无限大。当h≈0.78d时，波形不稳定并产生碎波。孤立波是 一种实际存在的波，已被用作一种环境条件来计算极浅水中海洋结构物的载 荷和响应。浅水航道中船的运动或河流中来流速度的突然变化都会产生孤立 波。 孤立波是椭圆余弦波当k＝1时的特殊情形，所以从椭圆余弦波的计算方 法出发，可导出孤立波的相应结果。
水质点垂直加速度
线性波作用下的流场参数
色散关系
gkth kd
2
C

k
g C th kd k
2
表达了不同水深处波峰的传播速度。
1.波浪作用下流场计算 1.2 非线性波理论
• 线性波理论给出的是非线性波的一次近似解，在即相对波高 H/d)为无限小，所以线性波理论只能用来描述海洋中一些波 高较小的波浪运动。 • 当波陡 H/L 足够大时，必须考虑非线性即高阶解的影响。鉴 于非线性解的复杂性，工程上通常应用数值方法求解。
1 2 2 n n
其中每一项．都是拉普拉斯方程的独立解，并都满足海底 边界条件。
1.2 非线性波理论
计算模型
连续方程：Laplace 方程
2 2 2 0 2 x z
得到 Bernoulli 方程
或
0
2
力平衡方程：对两个方程分别沿 x 和 z 向积分相加，
1
1.2 非线性波理论
2) Stokes五阶波的计算 • 速度势函数：
zd
kx t
5 k ch nks sin n n C n 1
• 波面形状：
cos n k n
n 1
5
• 波速：
C C 1 C1 C2
1
H ch ks
kT sh kd
sin
1 1 1 g t
依次类推由低阶到 高阶逐步解出这些偏微 分方程，可得到各阶的 近似解。
1
1.2 非线性波理论
1
H ch ks
kT sh kd
sin
1 1 1 g t
1
1.2 非线性波理论
1
1.3 非线性波理论
4) 椭圆余弦波 对非线性有限振幅波，有很大一类可用上一节介绍的Stokes摄 动展开方法建立的Stokes波理论进行描述。然而也应注意到，当 水深较小时, Stokes波理论结果的二阶量比一阶量大。这与Stokes 摄动展开的前提假定不符。因此，Stokes波理论在浅水范围内不 适用。因此必须研究适用于浅水的波浪理论。
x T sh kd
水质点垂直速度
H sh ks w sin z T sh kd
水质点水平加速度
u 2 2 H ch ks sin 2 t T sh kd
2 2 sh ks ks w w 2 2 HHsh 2 2 cos cos tt TT sh sh kd kd
会受到阶数的限制，仅取决于工程计算精度的需要，如， Schwartz算法。
1.2 非线性波理论
1) Stokes理论的基本原理
Stokes把非线性波作用下流场的速度势函数及其相关变量表达 为摄动级数，即采用以波陡（H/L）为小参量的幂级数展开的 方法，考虑高阶非线性效应的有限振幅波。
1 22 nn
可得
1.2 非线性波理论
代入自由表面运动学和动力学边界条件，整理得
由于小参数 为小于 l 的常数，要使上式成立，只有使 的系数
为零，这样就得到一系列独立于 的偏微分方程组。
1
1.2 非线性波理论
一阶式就是线性化 的自由表面边界条件。 一阶解即为线性波解。 求得了一阶式的1 和 1 后，将结果代入二 阶式中，便可以得到同 时满足拉普拉斯方程和 水底边界条件的 2 和 2 。
1
1.3 非线性波理论
椭圆余弦波、斯托克斯波和线性波的应用范围
首先，考虑水深与波长的关系，无因次参数 d L 可作为表征浅水 的一个标准。所谓浅水，就是 较小。由于这个理由，浅水波理论有时也 称为长波理论。 其次，如前所述，水波问题是一个非线性问题，一般还应引入波幅和 波长的比值 H 2 L A L, 作为运动非线性的标准。 Ursell(1953)把两个参数结合起来，引入所谓Ursell判据：