第3课时 (小专题)带电粒子在匀强磁场中运动的临界及多解问题基本技能练1. (多选)如图1所示，虚线MN 将平面分成Ⅰ和Ⅱ两个区域，两个区域都存在与纸面垂直的匀强磁场。
一带电粒子仅在磁场力作用下由Ⅰ区运动到Ⅱ区，弧线aPb 为运动过程中的一段轨迹，其中弧aP 与弧Pb 的弧长之比为2∶1，下列判断一定正确的是( )图1A ．两个磁场的磁感应强度方向相反，大小之比为2∶1B ．粒子在两个磁场中的运动速度大小之比为1∶1C ．粒子通过aP 、Pb 两段弧的时间之比为2∶1D ．弧aP 与弧Pb 对应的圆心角之比为2∶1解析 粒子在磁场中所受的洛伦兹力指向运动轨迹的凹侧，结合左手定则可知，两个磁场的磁感应强度方向相反，根据题中信息无法求得粒子在两个磁场中运动轨迹所在圆周的半径之比，所以无法求出两个磁场的磁感应强度之比，选项A 错误；运动轨迹粒子只受洛伦兹力的作用，而洛伦兹力不做功，所以粒子的动能不变，速度大小不变，选项B 正确；已知粒子通过aP 、Pb 两段弧的速度大小不变，而路程之比为2∶1，可求出运动时间之比为2∶1，选项C 正确；由图知两个磁场的磁感应强度大小不等，粒子在两个磁场中做圆周运动时的周期T ＝2πmBq也不等，粒子通过弧aP 与弧Pb 的运动时间之比并不等于弧aP 与弧Pb 对应的圆心角之比，选项D 错误。
答案 BC2. (多选)如图2所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。
某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间后有大量粒子从边界OC 射出磁场。
已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间可能为( )图2A.T 3B.T 4C.T 6D.T8解析 粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，由于所有粒子的速度大小相同，故弧长越小，粒子在磁场中运动的时间就越短，由于粒子在磁场中运动的最长时间为T2，沿SA 方向射出的粒子在磁场中运动时间最长，如图所示，作出粒子运动轨迹图，由几何关系可知当粒子在磁场中做圆周运动绕过的弧所对应的弦垂直边界OC 时，粒子在磁场中运动时间最短，由于SD ⊥OC ，则SD ＝12ES ，即弦SD 等于半径O ′D 、O ′S ，相应∠DO ′S ＝60°，即最短时间为t ＝60°360°T ＝T6。
答案 ABC3. (多选)在xOy 平面上以O 为圆心，半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面。
一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图3所示。
不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )图3A ．若r ＜2mvqB ，则0°＜θ＜90°B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πmqBC ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mvqB D ．若r ＝2mv qB，则r ＝πmqB解析 带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径R ＝mv qB 。
当r ≥2mvqB时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t ＝πm qB ；当r ＜2mvqB时，粒子在到达P点之前射出圆形磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x 轴的粒子的速度偏转角φ＞90°，所以过x 轴时0°＜θ＜90°，A 对，B 错；同理，若t ＝πm qB ，则r ≥2mv qB ，若r ＝2mv qB ，则t ＝πmqB，C 错，D 对。
答案 AD▲(多选)如图所示，MN 、PQ 之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场区域水平方向足够长，MN 、PQ 间距为L ，现用电子枪将电子从O 点垂直边界MN 射入磁场区域，调整电子枪中的加速电压可使电子从磁场边界不同位置射出。
a 、b 、c 为磁场边界上的三点，下列分析正确的是( )A ．从a 、b 、c 三点射出的电子速率关系为v a ＜v b ＜v cB ．从a 、b 、c 三点射出的电子速率关系为v a ＜v c ＜v bC ．若从边界MN 射出的电子出射点与O 点的距离为s ，则无论怎样调整加速电压，必有0＜s ＜2LD ．若从边界PQ 射出的电子出射点与O 点的距离为s ，则无论怎样调整加速电压，必有L ＜s ＜2L解析 画出轨迹圆可知，从a 、b 、c 三点射出的电子的半径关系为R a ＜R b ＜R c ，由R ＝mvBq，知v a ＜v b ＜v c ，A 对，B 错；电子垂直于边界MN 射入磁场，能从边界MN 射出，其轨迹的最大圆与边界PQ 相切，则无论怎样调整加速电压，必有0＜s ＜2L ，C 对；若电子从边界PQ 射出，其轨迹的最小圆也与边界PQ 相切，则无论怎样调整加速电压，必有L ＜s ＜2L ，D 错。
答案 AC能力提高练4.如图4所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。
圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m 、带电量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行。
图4(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？ (2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？ 解析甲(1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得R 1＝3r 3又qv 1B ＝m v 21R 1得v 1＝3Bqr3m。
(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有乙(2r －R 2)2＝R 22＋r 2可得R 2＝3r4又qv 2B ＝m v 22R 2可得v 2＝3Bqr4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr4m。
答案 (1)3Bqr 3m (2)3Bqr4m5．(2014·广东卷，36)如图5所示，足够大的平行挡板A 1、A 2竖直放置，间距6 L ，两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN 为理想分界面。
Ⅰ区的磁感应强度为B 0，方向垂直纸面向外。
A 1、A 2上各有位置正对的小孔S 1、S 2，两孔与分界面MN 的距离为L 、质量为m 、电量为＋q 的粒子经宽度为d 的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从S 1进入Ⅰ区，并直接偏转到MN 上的P 点，再进入Ⅱ区、P 点与A 1板的距离是L 的k 倍。
不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑。
图5(1)若k ＝1，求匀强电场的电场强度E;(2)若2<k <3，且粒子沿水平方向从S 2射出，求出粒子在磁场中的速度大小v 与k 的关系式和Ⅱ区的磁感应强度B 与k 的关系式。
解析 (1)若k ＝1，则有MP ＝L ，①即该情况粒子的轨迹半径为R ＝L ，②粒子做匀速圆周运动，其向心力由洛伦兹力提供：qvB 0＝m v 2R③v ＝qB 0R m④粒子在匀强电场中，据动能定理有：qEd ＝12mv 2⑤解得：E ＝qB 20L22dm⑥(2)由于P 距离A 1为kL ，且2<k <3，粒子从S 2水平飞出，该粒子运动轨迹如图所示，则根据从S 1到P 处的轨迹由几何关系得R ′2－(kL )2＝(R ′－L )2⑦又由qvB 0＝m v 2R ′⑧则整理得v ＝qB 0L 1＋k 22m⑨又由题意及轨迹图得6L －2kL ＝PQ⑩据几何关系，由相似三角形得kL PQ 2＝R ′r⑪又有qvB ＝m v 2r⑫解得Ⅱ区磁场与k 关系为B ＝kB 03－k⑬答案 (1)qB 20L 22dm (2)v ＝qB 0 L ＋k 2L 2m B ＝kB 03－k▲如图甲所示，一个质量为m 、电荷量为＋q 的微粒(不计重力)，初速度为零，经两金属板间电场加速后，沿y 轴射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。
磁场的四条边界分别是y ＝0，y ＝a ，x ＝－1.5a ，x ＝1.5a 。
两金属板间电压随时间均匀增加，如图乙所示。
由于两金属板间距很小，微粒在电场中运动，时间极短，可认为微粒加速运动过程中电场恒定。
(1)求微粒分别从磁场上、下边界射出时对应的电压范围；(2)微粒从磁场左侧边界射出时，求微粒的射出速度相对进入磁场时初速度偏转角度的范围，并确定在左边界上出射范围的宽度d 。
解析 (1)当微粒运动轨迹与上边界相切时，由图甲中几何关系可知R 1＝a微粒做圆周运动，有qv 1B ＝mv 21R 1微粒在电场中加速qU 1＝12mv 21由以上各式可得U 1＝qB 2a 22m所以微粒从上边界射出的电压范围为U 1′＞qB 2a 22m当微粒由磁场区域左下角射出时，由图乙中几何关系可知R 2＝0.75a微粒做圆周运动，有qv 2B ＝mv 22R 2微粒在电场中加速qU 2＝12mv 22由以上各式可得U 2＝9qB 2a232m所以微粒从下边界射出的电压范围为0＜U 2′≤9qB 2a232m(2)当微粒运动轨迹与上边界相切时，如图丙所示， sin ∠AO 1C ＝AC AO 1＝0.5a a ＝12，所以∠AO 1C ＝30° 由图丙中几何关系可知此时速度方向偏转120°，微粒由左下角射出磁场时，速度方向偏转180°，所以微粒的速度偏转角度范围为120°～180°，左边界上出射范围宽度d ＝R 1cos 30°＝32a 。
答案 (1)从上边界射出的电压范围为U 1′＞qB 2a 22m从下边界射出的电压范围为0＜U 2′≤9qB 2a 232m3 2a(2)120°～180°。