第 39 卷 第 4 期 2010 年 8 月
测
绘
学
报
Acta Geoda etica et Ca rtographica Sinica
Vol. 39, No. 4 Aug. , 2010
文章编号 : 1001 1595 ( 2010) 04 0349 06
基于等效残差的方差 协方差分量估计
李博峰1 , 沈云中1, 2 , 楼立志 1,
[26] [ 22 23]
=
- 1 y
R
( 5)
rk( R) = t r ( R) = r 式中 , r = n- t 为多余观测数 ; rk ( ∃ ) 和 t r ( ∃ ) 分 别为求矩阵的秩和迹算子。由于 R 的秩为 r , 所 以式 ( 3) 中只有 r 个残差独立。对 R 正交分解 , R= S VT ( 6) 式中 , S 和 V 是正交矩阵 , 满足 SS = VV = En ; En 为 n 维单位阵; 是对角阵且只有 r 个非零元 素, 即 S=
1 n% r 1 r% r T T
S
S 2 n% t ,
V=
V 1 n% r
V 2 n% t ,
=
0
( 7) 将式 ( 6) 和式( 7) 代入式( 3) 并顾及 S- 1 = ST , 得 S1 v= 1 V1 y = 至此 , 得到了 r 个等效残差 式中, F= u= Fy = F 1 V , u 的协方差为
立 VCE 的基本方程 , 在此基础上阐述 VCE 算法的局部最优特性和可 能出现负定 协方差阵 估计结果等 两大问题 , 并分 析 可能的解决方案及其复杂性 ; 导出初值给定的 Helmert、 最小二 乘和 MINQUE VCE 的线性 逼近估 计公式 , 证明 基于等 效 残差的估计公式与已有 VCE 公式等价 , 各种估计方法在本质上是一致的 ; 最后 , 用两个算例 验证本文的观点 。 关键词 : 方差 协方差分量估计 ; 正交分解 ; Helmert 方差分量估计 ; 最小范数二次无偏估计 ; 全 局最优化 中图分类号 : P207 文献标识码 : A 基金项目 : 国家自然科学基金 ( 40674003 , 40874016 ) ; 现代工程测量国家测绘局重点实验室开放课题 ( TJES0809)
T 1 T T 1
V1
T
( 8)
( 9) u = F y F 。利用
T
R 与 A 正交 , 易证明 F 与 A 正交, 可理解为观测 值除了能够计算参数估值外, 还能且 FE (
T
; Yang 等在高程系统
转换的 Collocation 模型中, 利用 VCE 方法求解自适 应因子从而平衡了观测值和信号对参数估值的贡 献[ 27] , 该方法还被成功地应用于 GIS 误差纠正[ 28] 。 本文首先利用正交分解提取出等效残差, 建立 VCE 的基本方程, 在给定初 值的情况下, 导 出了 Helmert、 最小二乘和 MINQUE VCE 的估计公式, 证 明了基于等效残差的 VCE 公式与已有公式等价。
; Ou 也给出了一种极大似
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然 VCE 算法并证明他的算法与 H elmert 和 Koch 的极大似然迭代算法是等价的, 他还将该算法推广 到条件平差模型[ 13] ; Grodecki 给出了不需要先验 信息的极大似然估计 VCE 公式 ; Yu 同样从概 括平差模型出发, 导出了极大似然 VCE 的通用公 式
1. Department of Surveying a nd Geo informatics Engi neering, Tongji University, Sha ngha i 200092, China; 2. Key La bora tory of A dva nced Surveying Engineeri ng of SBSM, Shangha i 200092, China
Abstract : The development of the variance covaria nce component esti mation ( VCE) theory i s firstly synopti cally reviewed in this paper. Then the equivalent residual s are extracted by usi ng orthogonal decomposi ti on and the fundamental equa tions for VCE are established. B a sed on that the two profound a nd unresolvable problems for VCE theory, namely regi onal optimal ity a nd negative definiti on for estimated covariance matrix, are explored and the correspondi ng possible resolvable schemes and thei r compl exi ty are anal ysed. Thirdly, we derive out the Hel mert, least squares and M INQUE VCE formulae based on the fundamental equations with the given ini ti al values, and additionally we also prove their equival ence with the existi ng VCE formulae. The procedure of derivati on i s benefici al for us to understand the essence of VCE tha t al l VCE for mulae are identi cal. Finally, two examples a re performed to verify the proposed viewpoi nts. Key words : vari ance cova riance component estima tion; orthogonal decompositi on; Helmert VCE; MINQUE; global opti mali ty 摘 要 : 首先概括性地阐述方差 协方差分量 估计( VCE) 理论的发展历史 与研究现 状 ; 利用 正交分解 提取出等效 残差 , 建
[ 12] [ 10] [ 7] [ 6] [ 4]
最优的参数估计和合理的精度评定都以正确 的观测值随机模型( 协方差阵 ) 为前提, 方差 协方 差分量估计 ( VCE) 就是确定合理的 观测向量协 方差矩阵。事实上, 观测值本身包含了它的一阶 和二阶统计量信息 , 即 n 个观测值除了提取用于 估计 t 个参数的信息外, 还能且最多只能提取 r = n- t 个观测值间的闭合差信息 , VCE 的本质就是 利用观测值的闭合差来估计它的二阶统计量。换 句话讲 , 参数估计对应观测值的一 阶统计量, 而 VCE 对应观测值的二阶统计量 , 因此 , VCE 在测 量数据处理中占有与参数估计同等重要的地位。 从 H elmert 在间 接平差模 型下导出 利用残 差估计分类观测数据 方差分量的无 偏估计公式 起, 许多学者对 VCE 理 论作了深入的 研究[ 1 2] 。 针对 H elmert 方法 , Ebner 和 F rst ner 在确保最
T - 1 y T - 1 - 1 T - 1 y - 1 y
A ) - 1 AT
- 1 y
y
( 2) ( 3) ( 4)
, 并指明 Kubik 与 Koch 的极大似然估计公式
只是他的特例。此外, Koch 和 Ou 在间接平差模型 下导出了方差分量的近似和严密的贝叶斯估计和 贝叶斯置信区间[ 16 19] 。 在应用方面 , VCE 已经被广泛地应用于测量 数据处理的各个领域 , 尤其是在过去的十多年里, VCE 成功地应用于 GP S 数据处理方面, 并取得 了良好的效果。Euler 和 Goad 提出了根据卫星 高度角定权 模型[ 20] ; Wang 等在 GP S 基线 解算 中, 采用 M INQU E 方法同时估计协方差阵 , 改善 了基线结果[ 21] ; 李博峰等先后采用超短基线和中 长基线 GP S 数据, 分析了不同接收机的不同类观 测值精度及其与高度角的关系, 时间相关性以及不 同类观测值之间的交叉相关性 ; 何海波和杨元 喜提出了一种基于移动窗口实时估计双差观测值 先验协方差阵的方法, 改善了动态定位结果[ 24] 。 综上所述, VCE 的理论与应用发展可总结为: 类似于参数估计, 根据不同的准则导出估计公 式; ! 从不同的函数模型出发导出相应的估计公 式; ∀ 根据协方差阵与待估元素的特点, 研究简化 的估计算法 ; # VCE 应用主要是针对不同的研究 对象直接利用已有的算法, 很少涉及 VCE 理论问 题。近年来 , VCE 再次成为测量数据处理的研究 热点, Teunissen 等系统地论述了最小二乘 VCE 的 优越性[ 25] ; Xu 等讨论了方差分量的可估性问题, 并明确了最多只有 r ( r + 1) / 2 个方差 协方差元素 可估, 其中 r 是多余观测数
1
引
言
终估值无偏的前提下 , 给出了两种简化的迭代算 法[ 3] ; Graf arend 将 H elmert 公式推 广到 条件平 差模 型 ; Yu 从 概 括 平 差 模 型 出 发, 导 出 了 H elmert VCE 的通用公式[ 5] 。Rao 在方差 协方 差估值满足无偏性和不变性的前提下 , 以估值与 理论值之差的二次范数最小为准则导出了著名的 最小范数 二次无偏估计 ( M INQUE ) ; Ko ch 在 同样的约束条件下 , 提出了以方差最小为目标的 最优不变二次无偏 估计 ( BIQU E) ; Sj berg 将 MINQU E 推广到条件平差和附有参数的条件平 差模 型 [ 8] , 他 还给 出 了 BIQU E 的 一 种 迭代 算 法[ 9] ; Crocet to 等在每组观测值有多个方差的假设 下, 给出了一种简便的 BIQUE 算法 。当观测误 差服从正态分布时, Kubik 采用附有参数的条件平 差模型导出了极大似然 VCE 公式, 并采用牛顿迭 代法计算[ 11] ; Koch 给出了间接平差模型下的极大 似然 VCE 估计公式