《解三角形》单元测试卷一、选择题1．己知三角形三边之比为5：7：8，则最大角与最小角的和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，下列等式正确的是（）A．a：b=∠A：∠B B．a：b=sinA：sinB C．a：b=sinB：sinA D．a sinA=bsinB3．若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（）A．1：2：3 B．1：：2 C．1：4：9 D．1：：4．在△ABC中，（）A．B．C．或D．以上都不对5．已知△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么满足条件的△ABC的形状大小（）A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ABC中，若a2+b2﹣c2＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能7．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a等于（）A．B．12C．或2D．28．（2004•贵州）△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，a+c=2b，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．9．（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A．2或B．2C．D．310．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°，若AB=120米，则电视塔的高度为（）A．60米B．60米C．60米或60米D．30米二、填空题11．在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，a=10，b=_________．12．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，c=，则b=_________．13．在△ABC中，A=60°，a=3，则=_________．14．在△ABC中，若a2+b2＜c2，且sin C=，则∠C=_________．15．平行四边形ABCD中，AB=4，AC=4，∠BAC=45°，那么AD=_________．16．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值=_________．三、解答题17．已知在△ABC中，，求角C．18．在△ABC中，已知，c=1，B=60°，求a，A，C．19．根据所给条件，判断△ABC的形状．（1）acosA=bcosB；（2）==．20．△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长．21．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A．B、C，且sin2A+sin2C-sinA•sinC=sin2B（1）求角B的值；（2）求2cos2A+cos（A-C）的范围．22．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cos B cos C−sin B sin C＝1/2 （Ⅰ）求A；（Ⅱ）若△ABC的面积．《解三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题1．己知三角形三边之比为5：7：8，则最大角与最小角的和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得cosθ的值，从而求得θ的值，则最大角与最小角的和为180°﹣θ．解答：解：设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49=25+64﹣80cosθ，解得cosθ=，∴θ=60°，则最大角与最小角的和为180°﹣60°=120°，故选B．点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，体现了转化的数学思想，属于中档题．2．在△ABC中，下列等式正确的是（）A．a：b=∠A：∠B B．a：b=sinA：sinB C．a：b=sinB：sinA D．a sinA=bsinB解答：解：在三角形BAC中，由正弦定理可得a：b=sinA：sinB，故选B．3．若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（）A．1：2：3 B．1：：2 C．1：4：9 D．1：：B4．在△ABC 中，（）A．B．C．或D．以上都不对考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c 的值．解答：解：由，利用余弦定理得：=+c2﹣2c ×，即c2﹣3c+10=0，因式分解得：（c﹣2）（c ﹣）=0，解得：c=2或．故选C点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．已知△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么满足条件的△ABC的形状大小（）A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得=，解得sinB=＞1，可得B不存在，从而得出结论．解答：解：已知△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么由正弦定理可得=，解得sinB=＞1，故B不存在，故选C．点评：本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．6．在△ABC中，若a2+b2﹣c2＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用余弦定理cosC=即可判断．解答：解：∵在△ABC中，a2+b2﹣c2＜0，∴cosC=＜0，∴＜C＜π．∴△ABC是钝角三角形．故选A．点评：本题考查三角形的形状判断，考查余弦定理的应用，属于基础题．7．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a等于（）A．B．12C．或2D．2考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：∵b=，c=3，B=30°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：（）2=a2+32﹣3a，整理得：a2﹣3a+6=0，即（a﹣）（a﹣2）=0，解得：a=或a=2，则a=或2．故选C点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．本题a有两解，注意不要漏解．8．（2004•贵州）△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，a+c=2b，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．考点：解三角形．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．解答：解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣2ac、又∵△ABC的面积为，∠B=30°，故由，得ac=6．∴a2+c2=4b2﹣12．由余弦定理，得，解得．又b为边长，∴．故选B点评：本题主要考查了余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．9．（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A．2或B．2C．D．3考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值．解答：解：如图，AB=x，BC=3，AC=，∠ABC=30°．由余弦定理得3=x2+9﹣2×3×x×cos30°．解得x=2或x=故选A．点评：考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形．根据数据特点选择合适的定理建立方程求解．10．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°，若AB=120米，则电视塔的高度为（）A．60米B．60米C．60米或60米D．30米考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：作出符合题意的图形，利用三角函数及勾股定理，即可求得结论．解答：解：如图所示，设电视塔的高度CD=h，∠CAD=45°，∠CBD=60°，∠ADB=90°，AB=120米，则AD=h，BD=h，在Rt△ABD中，∵BD2+AD2=AB2，∴∴h=60米故选A．点评：本题考查学生利用数学知识解决实际问题，考查方位角，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题11．在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，a=10，b=5．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得，由此求得b的值．解答：解：在△ABC中，∵∠A=45°，∠B=60°，a=10，则由正弦定理可得，即，解得b=5，故答案为5．点评：本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题．12．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，c=，则b=2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形内角和公式求得角C的值，再利用正弦定理求得c的值．解答：解：∵在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣A﹣B=30°．再由c=，利用正弦定理可得，即，解得c=2，故答案为2．点评：本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于中档题．13．在△ABC中，A=60°，a=3，则=．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由A的度数求出sinA的值，利用正弦定理表示出比例式，再由a的值及求出的sinA，算出比例式的比值，根据比例的性质即可得到所求式子的值．解答：解：由A=60°，a=3，根据正弦定理得：==2，则=2．故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，以及比例的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．14．在△ABC中，若a2+b2＜c2，且sin C=，则∠C=．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：直接利用勾股定理，判断三角形的形状，通过sin C=，求出∠C的值．解答：解：因为在△ABC中，若a2+b2＜c2，所以三角形是钝角三角形，∠C＞90°，又sin C=，所以∠C=．故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角形的有关计算，勾股定理、余弦定理的应用，考查计算能力．15．平行四边形ABCD中，AB=4，AC=4，∠BAC=45°，那么AD=4．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：在△ABC中利用余弦定理，算出BC=4，再由平行四边形边的性质可得AD=BC=4．解答：解：∵△ABC中，AB=4，AC=4，∠BAC=45°，∴根据余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos45°=96+48﹣2×××=48∴BC=4∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=4故答案为：4点评：本题给出平行四边形的对角线和一边之长，再已知对角线与边的夹角的情况下求平行四边形的另一边长．着重考查了平行四边形的性质和余弦定理等知识，属于基础题．16．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值=﹣．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据题意结合正弦定理得a：b：c=2：3：4．设a=2k，b=3k，c=3k，利用余弦定理求出cosC之值，即得最大角的余弦值解答：解：∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴根据正弦定理，得a：b：c=2：3：4，可得c为最大边，角C是最大角设a=2k，b=3k，c=3k（k＞0）∴cosC===﹣即最大角的余弦值为﹣故答案为：﹣点评：本题给出△ABC的三个内角的正弦之比，求最大角的余弦值．着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．三、解答题17．已知在△ABC中，，求角C．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由正弦定理可得，把已知可求sinC，进而可求C解答：解：∵由正弦定理可得∴sinC===∴C=60°或120°点评：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题18．在△ABC中，已知，c=1，B=60°，求a，A，C．考点：解三角形；正弦定理．专题：计算题．分析：由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，再由c小于b，根据大角对大边可得C小于B，由B的度数可得C的范围，进而利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，由B和C的度数，利用三角形的内角和定理求出A的度数，发现A为直角，故由b和c的长，利用勾股定理即可求出a的长．解答：解：∵，c=1，B=60°，由正弦定理得：，又c＜b，∴C=30°；…（6分）∴A=180°﹣B﹣C=90°；…（8分）∴△ABC为直角三角形，又b=，c=1，∴根据勾股定理得：．…（11分）点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的内角和定理，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．根据所给条件，判断△ABC的形状．（1）acosA=bcosB；（2）==．考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，故有sin2A=sin2B，可得2A=2B，或2A+2B=π，即A=B，或A+B=．由此可得，△ABC的形状．（2）△ABC中，由条件利用正弦定理可得，即tanA=tanB=tanC，故有A=B=C，由此可得结论．解答：解：（1）△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，故有sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=．若A=B，△ABC为等腰三角形；若A+B=，则可得C=，△ABC为直角三角形．综上可得，△ABC为等腰三角形或直角三角形．（2）△ABC中，∵==，则由正弦定理可得，即tanA=tanB=tanC，∴A=B=C，故△ABC为等边三角形．点评：本题主要考查正弦定理的应用，判断三角形的形状，属于中档题．20．△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A=2∠C，b=4，a+c=8，求a，c的长．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理得=，结合已经条件算出sin2C+sinC=2sin3C，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简整理，得8cos2C﹣2cosC﹣3=0，解出锐角C的余弦值为．最后利用余弦定理建立关系式，结合a+c=8即可解出边a、c的长．解答：解：根据正弦定理==，得=∵b=4，a+c=8，∠A=2∠C，∴=，可得sin2C+sinC=2sin（π﹣3C）=2sin3C∵sin2C=2sinCcosC，sin3C=sin（2C+C）=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos2C+sinC（2cos2C﹣1）∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos2C+sinC（2cos2C﹣1）]结合sinC＞0，化简整理得：8cos2C﹣2cosC﹣3=0，解之得cosC=或cosC=﹣∵∠A ＞∠B ＞∠C ，得C 为锐角，∴cosC=﹣不符合题意，舍去根据余弦定理，得cosC==， ∴=，解之得a=，c=8﹣a= 综上，a 、c 的长分别为、． 点评： 本题给出△ABC 的最大角等于最小角的2倍，最大边与最小边之和等于第三边的2倍，求边a 、c的长．着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．21.(1)B=3(2)(0,2] 22(1)120度．(2)S=3。