注意：Z 轴为 中性轴
q
b
h
h
b
根据弯曲强度条件
M
WZ
同样载荷条件下，工作应力越小越好 因此，WZ 越大越好
梁立置时： W Zb62h b6 2b246 b33 2b3
梁倒置时： W Zh62b2b6 b226 b33 1b3
立置比倒 置强度大 一倍。
三、梁的弯曲剪应力强度校核
通常满足了正应力强度，剪应力强度也能满足。但 在梁的跨度较小或支座附近有较大的载荷时，因梁的 弯矩较小而剪应力相对较大，需要对梁进行剪应力强 度校核。
中
中
性
性
层
轴
# 中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
• 中性轴 中性层与横截面的交线。
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部 将缩短
弯曲正应力分布规律 E E y
该点到中性轴 距离
该截面惯性矩
例 一受均布载 荷的悬臂 梁 ，其长 l=1m，均布载荷集 度 q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩 Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。
（1）作弯矩图，
求最大弯矩
梁的弯矩图如图5-8b 所示， 由图知梁在固定端横截面上 的弯矩最大，其值为
Mmax WZ
Mmax WZ [σ]
梁内最大弯矩 危险截面抗弯截面模量
材料的许用应力
利用强度条件可以校核强度、设计截面 尺寸、确定许可载荷
例 图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC 段截面的直径。已知q = 1KN/mm，许用应力[σ] = 140MPa。
危险截面在轴的中部
q
利用截面法求该截面弯矩
例：图示简支梁，材料的许用应力[σ]=140MPa， [τ]=80MPa，试选择工字钢的型号。
0.2m 60kN
A
B
c
FA
2m
FB
危险截面：C截面
Mmax 10.8kNm
解：2、据正应力强度条件确 定工字钢的型号。
max
Mmax WZ
WZ
Mmax
10.8106 140
77.1103m m3
对于非对称形截面：当梁的弯矩有正负变化时，最大的拉 应力可能不等于最大的压应力，且可能不在同一截面上。
9KN
4KN
A
B
C
D
Z
RA 1m
1m RB 1m
M
2.5KNm
y
-4KNm X MC
X y
X MB
危险截面：在最大 的正弯矩截面和最 大的负弯矩截面。
Байду номын сангаас
C截面
B截面
二、梁的正应力强度条件
max
WZ
M max
d3 45510001000
32
140
例：一圆形截面木梁，受力如图所示[σ]=10MPa,试选 择截面直径d.
3KN q=3kN/m
A
1m FA
3m
解：1、确定危险截面
B FA 8.5KN FB FB 3.5KN
FQ 5.5kN
-3KN M
1.17m
2.KNm
-3.5KN
危险截面：A截面 Mmax=3kNm
max
FQ A
54 10 3 669 . 9
80 . 6 MPa
A (h 2t)d 669.9mm2
A
B D
Z
C
RA 1m
1m RB 1m
3、求全梁的最大拉、压应力。
M
2.5KNm
y
-4KNm X MC
X y
X MB
y max
B y max
M B y下 IZ
4 10 6 88 763 .7 10 4
46 .1MPa
C截面
B截面
Blma x 7 461.736 0154 022.72MP
ydA A
yc A
Sz
yc A 0
A0
yc 0
Z:中性轴
静矩，面积矩 中性轴必然通过横 截面的形心
AydAM
E E y
Ay(E y)dA E Ay2dA M
令
I z
y 2 dA
A
EI z M
或1 M EI z
抗弯刚度
My
Iz
该截面弯矩
My
Iz
横截面上 某点正应力
9KN
4KN
B
A C
D
RA 1m
1m RB 1m
y z
M
2.5KNm
-4KNm
X
l max
y max
M max
h 2
M max
IZ
WZ
第三节 弯曲切应力
第三节 弯曲切应力
一、矩形截面梁横截面 上的切应力
FQ 2IZ
h2 4
y2
max
1.5
FQ A
第三节 弯曲切应力
二、工字形截面梁横截面 上的剪切应力
125121 3cm 1212
即中性轴 z 与轴 z 的距离为3cm。
（2）求各组合部分对中性 轴z的惯性矩
设两矩形的形心CⅠ和CⅡ；其形心轴为z1和z2，它们距z轴的 距离分别为： a I C I C 2 c,a m I IC I I C 2 cm
由平行移轴公式，两矩形对中 性轴z的惯性矩为：
A1
A2
平行移轴公式
Iz1 y12dA
A
Iz1 (ya)2dA y2dA 2a yd Aa2 dA
A
A
A
A
Ayd ASz ycA Ayd A0
且yc 0
I z1 I z a 2 A I y1 I y b2 A
例 求T字形截面的中性轴 z，并求截面对中性轴的惯性矩.
（1） 确定形心和中性轴的位置
max
FQ A
54 10 3 546
98 . 9 MPa
A （h 2t)d 546 mm 2
例：图示简支梁，材料的许用应力[σ]=140MPa， [τ]=80MPa，试选择工字钢的型号。
60kN 0.2m
A
B
c
FA
2m
FB
重选14号工字钢 d 5.5mm,h 140,t 9.1
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
M • 正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
• 弯矩为正时，正应力 以中性轴为界下拉上 压；
• 弯矩为负时，正应力上拉下压；
M
• 中性轴上，正应力等于零
2、静力学关系分析
没有轴向力 dA 0 A
E E y
AE ydA E AydA 0
质心坐标
A ydA0
圆形与圆环截面
Ip
2dAD4
A
32
I P
2dA
A
空心圆
( y 2 z 2 )dA A
y 2dA
A
A z 2dA I z I y
IzIyI2 P6 4D 4d4
IP 2Iz 2Iy
实心圆
Iz
Iy
IP 2
d4
64
IzIyI2P6D4414
d D
2、组合截面惯性矩
Iz y2d Ay2dA IzΙIzII
M q2l600 12 030N 0m 0
ma x2
2
（2）求最大应力
因危险截面上的弯
矩为负，故截面上缘受 最大拉应力，其值为
TmaxM Im z axy1
3000 25.61080.0152
178106Pa17M 8 Pa
在截面的下端受最大压应力，其值为
CmaxM Im z axy2
3000 25.61080.0328
第四节 梁的强度计算
# 梁的最大正应力 # 梁的强度条件 # 举例
一、梁的最大正应力
• 梁的危险截面
即最大正应力所在截面
对于对称形截面：梁的危险截面在该梁内弯矩最大的 截面上
危险截面位于梁中部
• 梁的最大正应力
梁的最大正应力发生在危 险截面上离中性轴最远处
危险截面位于梁根部
max
M max WZ
q
P
2、据强度条件确定q
A L
B
Z
max
Mmax WZ
危险截面：固定端A Mmax=PL+ql2/2 (kNm)
WZ 14c1m3
q3kN/m 22.5q2.252 141103
106
100
例 图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为bh的矩形， h
= 2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？
385106Pa38M 5 Pa
第二节 惯性矩的计算
1、简单截面的惯性矩 矩形截面
h
Iz
y2dA
A
h2y2bdyby3
h2
3
2
h
bh3
12
2
bh 3 I z 12
hb 3 I y 12
y
y
P
z
z
My
100
200
Iz
(a)
(b)
(a ):IZ 1 1b 2 3 h 1 1 2 1 0 20 3 0 1 8 0 2 18 m 04m (b ):IZ 1 1b 2 3 h 1 1 2 2 0 10 3 0 1 2 0 2 18 m 04m
IzIIz1I aI2AI 21623 221284cm 4 IzIIIz2IIaI2IAII61223 221252cm 4