xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
四、曲线的一般方程与参数方程互化
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
内容小结
• 空间曲线
例如,
2 2 2 x y z 1 C : 2 2 2 x ( y 1) ( z 1) 1
z
在xoy 面上的投影曲线方程为
C
o x
1 y
x2 2 y2 2 y 0 z0
又如,
上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
H ( x, y ) 0 z0 y 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x C R( y, z ) 0 x0 T ( x , z ) 0 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 y0
o
y
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
思考: 对平面 y b23y交线情况如何?
交线情况如何?
z
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
ay x
x 2 z 2 a 2 y 0 ( x 0 , z 0)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例
设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2 和 z 3( x 2 y 2 )锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解
半球面和锥面的交线为
2 2 z 4 x y , C : 2 2 z 3 ( x y ),
消去 z 得投影柱面 x 2 y 2 1,
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影 四、曲线的一般方程与参数方程互化
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G( x, y, z ) 0 L F ( x, y, z ) 0
S2
S1
例如,方程组
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
• 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
展示空间图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
A
x
o
z

x
y
P

y
( r , , )称为点M的球坐标
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
球坐标的三坐标面分别为
r 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
为常数 为常数
z
为常数
z 为常数

M ( x, y, z )
z
o

r
P(r , )
y
x
球面坐标
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点 M 可用 三个有次序的数r，， 来确定． 如图， z 规定：0 r , M ( x, y, z ) r 0 , 0 2.
o
1 y
x
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成 参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线的参数方程为
z
t
o
x A
M

令 t , b
v
M
y

上升高度 h 2 b , 称为螺距 .
规定： 0 r ,
0 2,
z
M ( x, y, z )
o

z .
r
P(r , )

y
x r cos , 柱面坐标与直角 y r sin , 坐标的关系为 z z.
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x 2 y 2 1, z 0.
一个圆,
所求立体在 xoy 面上的投影为
x y 1.
2 2
附：柱面坐标
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．