2020年安徽省合肥四十八中中考数学一模试卷一、选择题（共10小题）.1．﹣5的倒数是（）A．5B．﹣5C．﹣D．2．截止2020年2月初，我国共拨款665.3亿元资金防控，其中665.3亿用科学记数法表示为（）A．6.653×107B．6.653×108C．6.653×109D．6.653×1010 3．计算下列各式结果为a6的是（）A．a2•a3B．（a2）4C．a3+a3D．a8÷a24．如图，由六个完全相同的小正方体搭成一个几何体，在这个几何体的“三视图”中是轴对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和俯视图5．抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）6．如图所示，∠B的值为（）A．85°B．95°C．105°D．115°7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（2，﹣1），D（2，2），当双曲线y＝（k＞0）与正方形有四个交点时，k的取值范围是（）A．0＜k＜1B．1＜k＜4C．k＞1D．0＜k＜28．如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP 的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．9B．12C．18D．249．某商品价格从2017年底到2018年底下降19%，从2018年底到2019年底下降36%，那么此商品价格从2017年底到2019年底平均下降百分率为（）A．30%B．28%C．25.5%D．20%10．如图，等腰Rt△ABC的一个锐角顶点A是⊙O上的一个动点，∠ACB＝90°，腰AC 与斜边AB分别交⊙O于点E、D，分别过点D，E作⊙O的切线交于点F，且点F恰好是腰BC上的点，连接OC，OD，OE，若⊙O的半径为4，则OC的最大值为（）A．2+2B．4+2C．6D．8二、填空题11．分解因式：xy3﹣4xy＝．12．若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为．13．如图，AB是⊙O半径OC的垂直平分线，点P是劣弧AB上的点，则∠APB的度数为．14．在平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c与y轴交于点P，以OP为一边向左作正方形OPBC，点A为抛物线的顶点，当△ABP是锐角三角形时，c的取值范围是．三、解答题15．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）16．程大位是珠算发明家，他的名著《直指算法统宗》详述了传统的珠算规则，确立了算盘用书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？17．观察以下等式：第1个等式：12+2×1＝1×（1+2）第2个等式：22+2×2＝2×（2+2）第3个等式：32+2×3＝3×（3+2）…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B （﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C的应点C₁的坐标为（4，﹣1），画出△A1B1C1并写出顶点A，B对应点A1，B1的坐标；（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．19．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测的E，F两点的俯角分别为∠ACE＝60°，∠BCF＝45°，这时点F相对于点E升高了3cm．求该摆绳CD的长度．（≈1.7，≈1.4）20．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．连接QP并延长，分别交AB、CD于点M，N．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，已知PM＝QN；若MN的最小值为，求菱形ABCD的面积．21．某学校从甲、乙两名班主任中选拔一名参加教育局组织的班主任技能比赛，选拔内容分案例分析、班会设计、才艺展示三个项目，选拔比赛结束后，统计这两位班主任成绩并制成了如图所示的条形统计图：（1）乙班主任三个项目的成绩中位数是；（2）用6张相同的卡片分别写上甲、乙两名班主任的六项成绩，洗匀后，从中任意抽取一张，求抽到的卡片写有“80”的概率；（3）若按照图2所示的权重比进行计算，选拔分数最高的一名班主任参加比赛，应确定哪名班主任获得参赛资格，说明理由．22．为鼓励下岗工人再就业，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给下岗人员自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，老李按照政策投资销售本市生产的一种儿童面条．已知这种儿童面条的成本价为每袋12元，出厂价为每袋16元，每天销售y（袋）与销售单价x（元）之间的关系近似满足y＝﹣3x+90．（1）老李在开始创业的第1天将销售单价定为17元，那么政府这一天为他承担的总差价为多少元？（2）设老李获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种面条的销售单价不得高于24元，如果老李想要每天获得的利润不低于216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？23．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD ＝AC，连结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF 表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当时，请直接写出线段AE的长．参考答案一、选择题1．﹣5的倒数是（）A．5B．﹣5C．﹣D．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．解：﹣5的倒数是﹣，故选：C．2．截止2020年2月初，我国共拨款665.3亿元资金防控，其中665.3亿用科学记数法表示为（）A．6.653×107B．6.653×108C．6.653×109D．6.653×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解：665.3亿＝6.653×1010．故选：D．3．计算下列各式结果为a6的是（）A．a2•a3B．（a2）4C．a3+a3D．a8÷a2【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．解：A．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B．（a2）4＝a8，故本选项不合题意；C．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；D．a8÷a2＝a6，故本选项符合题意．故选：D．4．如图，由六个完全相同的小正方体搭成一个几何体，在这个几何体的“三视图”中是轴对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和俯视图【分析】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解．解：如图所示：在这个几何体的“三视图”中是轴对称图形的是左视图．故选：B．5．抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）【分析】利用配方法化成顶点式求解即可．解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴顶点坐标为（2，1），故选：B．6．如图所示，∠B的值为（）A．85°B．95°C．105°D．115°【分析】根据n边形的内角和公式（n﹣2）×180°求出这个五边形的内角和，再根据角的和差关系计算即可．解：∵五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，∴∠B＝540°﹣∠A﹣∠C﹣∠D﹣∠E＝540°﹣125°﹣60°﹣150°﹣90°＝115°．故选：D．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（2，﹣1），D（2，2），当双曲线y＝（k＞0）与正方形有四个交点时，k的取值范围是（）A．0＜k＜1B．1＜k＜4C．k＞1D．0＜k＜2【分析】求出正方形边长，数形结合求出k的范围．解：把点B（﹣1，﹣1）代入y＝（k＞0）得k＝﹣1×（﹣1）＝1，由图象可知：当双曲线y＝（k＞0）与正方形有四个交点时，k的取值范围上0＜k＜1；故选：A．8．如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP 的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．9B．12C．18D．24【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G．首先证明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥BC，推出＝＝3，即可求出EG解决问题．解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．∵，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故选：C．9．某商品价格从2017年底到2018年底下降19%，从2018年底到2019年底下降36%，那么此商品价格从2017年底到2019年底平均下降百分率为（）A．30%B．28%C．25.5%D．20%【分析】设此商品价格为a元，从2017年底到2019年底平均下降百分率为x，根据2019年底此商品价格不变得出关于x的一元二次方程，求解即可求出结论．解：设此商品价格为a元，从2017年底到2019年底平均下降百分率为x，根据题意，得：a（1﹣x）2＝a（1﹣19%）（1﹣36%），解得：x1＝0.28＝28%，x2＝﹣1.72（舍去），答：此商品价格从2017年底到2019年底平均下降百分率为28%．故选：B．10．如图，等腰Rt△ABC的一个锐角顶点A是⊙O上的一个动点，∠ACB＝90°，腰AC 与斜边AB分别交⊙O于点E、D，分别过点D，E作⊙O的切线交于点F，且点F恰好是腰BC上的点，连接OC，OD，OE，若⊙O的半径为4，则OC的最大值为（）A．2+2B．4+2C．6D．8【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形ODFE是正方形，再得出点C在以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾股定理计算出OG的长度，再加上CG的长度即可．解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠DOE＝2∠A＝90°，∵分别过点D，E作⊙O的切线，∴OD⊥DF，OE⊥EF，∴四边形ODFE是矩形，∵OD＝OE＝4，∴四边形ODFE是正方形，∴EF＝4，∵点F恰好是腰BC上的点，∴∠ECF＝90°∴点C在以EF为直径的半圆上运动，∴设EF的中点为G，则EG＝FG＝CG＝EF＝2，且当OC经过半圆圆心G时，OC 的值最大，此时，在Rt△OEG中，OG＝＝＝2，∴OC＝OG+CG＝2+2．故选：A．二、填空题11．分解因式：xy3﹣4xy＝xy（y+2）（y﹣2）．【分析】先提取公因式xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：xy3﹣4xy，＝xy（y2﹣4），＝xy（y+2）（y﹣2）．12．若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为 1.5．【分析】根据众数的定义先求出x的值，再根据方差的计算公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]进行计算即可．解：∵数据1，2，x，4的众数是1，∴x＝1，∴平均数是（1+2+1+4）÷4＝2，则这组数据的方差为[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（1﹣2）2+（4﹣2）2]＝1.5；故答案为：1.5．13．如图，AB是⊙O半径OC的垂直平分线，点P是劣弧AB上的点，则∠APB的度数为120°．【分析】在优弧AB上取一点T，连接TA，TB，OA，OB，AC．证明△AOC是等边三角形，求出∠T即可解决问题．解：在优弧AB上取一点T，连接TA，TB，OA，OB，AC．∵AB垂直平分OC，∴AO＝AC，＝，∵OA＝OC，∴OA＝OC＝AC，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠T＝∠AOB＝60°，∵∠T+∠APB＝180°，∴∠APB＝120°，故答案为120°．14．在平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c与y轴交于点P，以OP为一边向左作正方形OPBC，点A为抛物线的顶点，当△ABP是锐角三角形时，c的取值范围是1＜c＜2或﹣2＜c＜﹣1．【分析】当c＞0时，如图1，正方形的边长为c，当△ABP是锐角三角形时，当∠ABP 为直角时，c＝1，当∠BAP为直角时，c＝2，即可求解．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的对称轴为x＝﹣1，与y轴交于点P（0，c），①当c＞0时，如图1，正方形的边长为c，当△ABP是锐角三角形时，当∠ABP为直角时，c＝1，当∠BAP为直角时，c＝2，故△ABP是锐角三角形时，1＜c＜2；②当c＜0时，如图2，正方形的边长为﹣c，当∠ABP为直角时，﹣c＝1，当∠BAP为直角时，﹣c＝2，故﹣2＜c＜﹣1，故答案为：1＜c＜2或﹣2＜c＜﹣1．三、解答题15．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，变形得：（x﹣2）2＝9，开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．16．程大位是珠算发明家，他的名著《直指算法统宗》详述了传统的珠算规则，确立了算盘用书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据100个和尚吃100个馒头且1个大和尚分3个、3个小和尚分1个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意，得：，解得：．答：大和尚有25人，小和尚有75人．17．观察以下等式：第1个等式：12+2×1＝1×（1+2）第2个等式：22+2×2＝2×（2+2）第3个等式：32+2×3＝3×（3+2）…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：42+2×4＝4×（4+2）；（2）写出你猜想的第n个等式：n2+2n＝n（n+2）（用含n的等式表示），并证明．【分析】（1）根据提供的算式写出第4个算式即可；（2）根据规律写出通项公式然后证明即可．解：（1）∵第1个等式：12+2×1＝1×（1+2）；第2个等式：22+2×2＝2×（2+2）；第3个等式：32+2×3＝3×（3+2）；…由上可知，这些算式的规律为等式左边为序号的平方加上序号数的2倍，右边为序号数与比序号大2的数的积，∴第4个等式：42+2×4＝4×（4+2），故答案为：42+2×4＝3×（4+2）；（2）由规律可知，第n个等式为：n2+2n＝n（n+2）．理由如下：∵左边＝n2+2n，右边＝n（n+2）＝n2+2n，∴左边＝右边，即n2+2n＝n（n+2）．故答案为：n2+2n＝n（n+2）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B （﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C的应点C₁的坐标为（4，﹣1），画出△A1B1C1并写出顶点A，B对应点A1，B1的坐标；（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．【分析】（1）根据平移的性质画出图形，进而得出坐标即可；（3）将三角形三顶点分别绕着点O按顺时针方向旋转90°得到对应点，连接可得．解：（1）△A₁B₁C₁如下图所示；A₁的坐标为（2，1），B₁的坐标为（3，﹣3）．（2）△A₂B₂C₂如下图所示：19．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测的E，F两点的俯角分别为∠ACE＝60°，∠BCF＝45°，这时点F相对于点E升高了3cm．求该摆绳CD的长度．（≈1.7，≈1.4）【分析】过点E、F作EG⊥CD，FH⊥CD，根据直角三角形的解法解答即可．解：分别过点E、F作EG⊥CD，FH⊥CD，垂足分别为G、H，设摆绳CD的长度为xcm．则CE＝CF＝xcm．由题意知：HG＝4，∠CEG＝60°，∠CFH＝45°．在Rt△CEG中，sin∠CEG＝，∴CG＝CE•sin∠CEG＝x•sin60°，在Rt△CFH中，sin∠CFH＝，∴CH＝CF•sin∠CFH＝x•sin45°．∵HG＝CG﹣CH，∴x•sin60°﹣x•sin45°＝3，解得x＝6（+）≈18.6．答：摆绳CD的长度为18.6cm．20．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．连接QP并延长，分别交AB、CD于点M，N．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，已知PM＝QN；若MN的最小值为，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）由菱形的性质得出BC＝DC，∠BCD＝120°，由旋转的性质得PC＝QC，∠PCQ＝120°，得出∠BCP＝∠DCQ，由SAS得出△BCP≌△DCQ即可；（2）过点C作CG⊥PQ于点G，连接AC，得出MN＝PQ＝PC，当PC⊥BD时，PC 最小，此时MN最小，则PC＝2，BC＝2PC＝4，菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）解：过点C作CG⊥PQ于点G，连接AC，∵PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠PCG＝60°，PG＝QG，∴PG＝PC，∴PQ＝PC．∵PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，∴PC＝2，BC＝2PC＝4，∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴＝4，∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×4＝8；21．某学校从甲、乙两名班主任中选拔一名参加教育局组织的班主任技能比赛，选拔内容分案例分析、班会设计、才艺展示三个项目，选拔比赛结束后，统计这两位班主任成绩并制成了如图所示的条形统计图：（1）乙班主任三个项目的成绩中位数是80；（2）用6张相同的卡片分别写上甲、乙两名班主任的六项成绩，洗匀后，从中任意抽取一张，求抽到的卡片写有“80”的概率；（3）若按照图2所示的权重比进行计算，选拔分数最高的一名班主任参加比赛，应确定哪名班主任获得参赛资格，说明理由．【分析】（1）直接从三个数据中找到中位数即可；（2）利用概率公式求解即可；（3）分别按照不同的权，利用加权平均数求解即可．解：（1）乙班主任的得分排序为：72，80，85，中位数为80；（2）六张卡片中写着80的共两张，因此P（抽到的卡片写有80）＝＝；（3）甲教师得分：70×30%+80×60%+87×10%＝77.7分；乙教师的得分：80×30%+72×60%+85×10%＝75.7分；∵77.7＞75.7，∴甲教师获得参赛资格．22．为鼓励下岗工人再就业，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给下岗人员自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，老李按照政策投资销售本市生产的一种儿童面条．已知这种儿童面条的成本价为每袋12元，出厂价为每袋16元，每天销售y（袋）与销售单价x（元）之间的关系近似满足y＝﹣3x+90．（1）老李在开始创业的第1天将销售单价定为17元，那么政府这一天为他承担的总差价为多少元？（2）设老李获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种面条的销售单价不得高于24元，如果老李想要每天获得的利润不低于216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？【分析】（1）把x＝17代入y＝﹣3x+90求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由总利润＝销售量•每件纯赚利润，得w＝（x﹣12）（﹣3x+90），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出销售单价及最大利润；（3）令﹣3（x﹣21）2+243＝216，求出x的值，求出利润的范围，然后根据一次函数的性质求出总差价的最小值．解：（1）当x＝17时，y＝﹣3x+90＝﹣3×17+90＝39，39×（16﹣12）＝156（元），即政府这一天为他承担的总差价为156元．（2）依题意得，w＝（x﹣12）（﹣3x+90）＝﹣3（x﹣21）2+243（x≥12），∵a＝﹣3＜0，∴当x＝21时，w有最大值243．∴当销售单价定为21元时，每天可获得最大利润243元．（3）由题意得：﹣3（x﹣21）2+243＝216，解得：x1＝18，x2＝24．∵a＝﹣3＜0，抛物线开口向下，∴当18≤x≤24时，w≥216．∵y＝﹣3x+90，﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝24时，y最小＝﹣3×24+90＝18（元），∴18×（16﹣12）＝72（元）．即销售单价定为24元时，政府每天为他承担的总差价最少为72元．23．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD ＝AC，连结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当时，请直接写出线段AE的长．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG 构建方程求出x即可得出答案．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别得出方程求解即可解决问题．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴EG＝EC•sin∠ACB＝（2﹣x），CG＝EC•cos∠ACB＝1﹣x，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴1+（2﹣x），解得x＝4﹣2．∴线段AE的长是4﹣2．（2）①当∠CAD＜120°时，设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴∠CAF＝∠DAC＝60°﹣α，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，BG＝1+x，EG＝（2﹣x），∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴y＝（0＜x＜2）．②y＝，则有，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍去），∴AE＝．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝，当y＝时，，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍去）或1，∴AE＝1．综合以上可得AE的长为1或．。