x第九章正弦稳态电路的分析本章重点:1. 阻抗，导纳及的概念2. 正弦电路的分析方法3. 正弦电路功率的计算4. 谐振的概念及谐振的特点本章难点：如何求电路的参数 主要内容X arctg为阻抗角(辐角)；R1 1可见，当X.>0，即L 一时，Z 是感性； 当X<0,即卩L 一时，Z 呈容性。
cc(3)阻抗三角形:1 •阻抗 (1)复阻抗：Z § 9-1阻抗和导纳R jXR=Re[Z] Z cos z 称为电阻;X=Im[Z]=⑵RLC 串联电路的阻抗:称电抗。
Z sinzj( L j(X L丄)cX C ) RjX式中X LL 称为感抗；X C称为容抗;X X L X C L — c式中Z为阻抗的模;Z R2 •导纳x1(1)复导纳：丫 一Z⑵RLC 并联电路的导纳:(3)导纳三角形：3.阻抗和导纳的等效互换§ 9-2 阻抗(导纳)的串联和并联1. 阻抗串联：(1) 等效阻抗：Z e q 乙Z 2川Z n (2) 分压作用：U |K 互U, k 1,2,|||,nZeq2. 导纳并联(1) 等效导纳：Y eq 丫1 丫2 |||Y n (2) 分流作用：|[ 丫M 〔,k 1,2,|||, n3. 两个阻抗并联:式中YI一「.G 2 B 2称为导纳的模;BYarCtanG 称为导纳角;G Re[Y] 丫 cos 丫称为电导; lm[Y] Y sin 丫称为电纳。
YG jB1c飞)j(B c B L )G jB Y式中B L—称为感纳；LL可见，当B 0,即c —时,LB cC 称为容纳; B B c BLY 呈容性；当B 0,即c1—,丫呈感性(1)RLC 串联电路的等效导纳:⑵RLC 并联电路的等效阻抗:Y RR 2 X 2 G j 一G B GXJ "R 2 X 2 B BBGY§ 9-3 电路的相量图相量图可直观地表示相量之间的关系，并可辅助电路的分析和计算，相量图的做法：⑴ 按比例化出各相量的模(有效值)，并确定各相量的相位，相对地确定相量在复平面图上的位(2) 若没有给定参考相量时，并联电路以电压相量为参考相量，根据支路的VCR 确定各并联支路的电流相量与电压相量之间的夹角；然后根据结点上的KCL 方程，用相量平移求和法则，画出结点各支路电流相量组成的多变形。
串联电路以电流相量为参考相量，根据VCR 确定有 关电压相量与电流相量的夹角，再根据回路上的KVL 方程，用相量平移求和的法则，画出回 路上个电压相量所组成的多边形。
(3) 串并联电路往往先设并联电压为参考相量，即先并后串。
§ 9-4 正弦稳态电路的分析用相量法分析正弦稳态电路时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定律可推广用于线性 电路的正弦稳态分析，差别仅在于所设电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式 描述的电路定律，而计算则为复数运算。
§ 9-5 正弦稳态电路的功率u 、2U cos( t u ) i .2I cos( t i )P ui UI cos UI cos(2 t 2 u ) 1⑵平均功率(有功功率)：P — pdt UI cos (W) Tdef⑶无功功率：Q UI sin (var)⑴等效阻抗：Z乙Z 2 乙Z 2⑵分流作用：l |Z 2 Z i Z 2(1)瞬时功率：设def⑷视在功率：S UI (VA)—2 °Q ⑸P , Q S之间的关系：P Seos , Q Ssin , S . P Q arctan平P(7)RLC串联电路的功率P UI cos Z 12cos RI2Q UI sin Zl2sin ( L —)I2Q L Q Cc§ 9-6复功率(2)复功率守恒：电路中有功、无功复功率守恒，但视在功率不守恒，即S 0 S 0P⑶感性负载并电容提高功率因数：C -J7(tg 1 tg )§ 9-7最大功率传输(1)负载获得最大功率条件: Zeq R eq jX eq(1)复功率F'J I IUI UI cos jUI sin P jQ 12Z U2Y P UI cos 0 Q UI sin 0§ 9-8串联电路的谐振1串联电路的谐振条件: (1) 谐振条件：lm[Z(j )] 0,即 0L(2) 谐振频率:2•串联电路谐振的特征： (1)呈电阻性，阻抗最小[Z(j ) R, 0];⑵电流最大(I U )R⑶ 电压谐振，即U L U C QU ( Q ―丄 —1— 丄); R °CR R V C ⑷电路的无功功率为零，即Q 0,cos 0§ 9-9并联谐振电路1 •并联谐振条件 (1)谐振条件：Im[Y(j 0)]0,即 0L2 •并联谐振的特征(1)导纳最小(阻抗最大)，呈电阻性[Y(j 0) G,Z(j 0) R, 0](2)负载获得最大功率: R nax2 oc4R eq(2)谐振频率:1C1°C⑵ 端电压最大［U( 0) Z(j 0) I S RI S ］； ⑶电流谐振，即I L I C Ql s (Q —°C 1 . C ) LC°LG G GYL⑷电路的无功功率为零，即Q Q L Q C 0。
典型习题：习题 9-11 已知附图电路中，u 220「2cos(250t 20 )V ，R 110，C 1 20 F,C 2 80 F, L 1H 。
求电路中各电流表的读数和电路的输入阻抗，画出电路的相量图解：首先计算X L 和X C 。
X L L 250 1250则LC 串联支路的总阻抗Z 为j(X L X C 1X C 2)j(250 200 50) 0这条支路相当于短路，所以可得电流表的读数为解:题9-11图X CC16250 20 10200X C 2C2250 80 10 650题解9-11图(j 200) 400 70 V (j50) 400 70 V(j250) 400 110 V相量图如题解9-11图所示注意：LC 串联支路的总电压为零，即发生了串联谐振，但各元件上的电压不为零，甚至可 大于输入电压。
有 KVL 得，有 RjL U C 0 即10l | 10||20.5 10 0( j20)联立以上求解方程，得lL 5 j5 5 .2 -45 A I 2 5 j5 5,2 +45 A相量图如题解9-15所示各相量为A 0U 220 A — 2AR 110U 220 20 V h 2 20 A d e IIjxci2 202 20 2 20习题9-15已知附图电路中，I s 10A ， 5000rad/s ，R R 2 10 ，C 10 F ， 0.5。
解法一：设支路电流如图所示。
另IS10 0 A 为参考相量，容抗为X C根据KCL ，有l|s1 1C 5000 10 10 l | I ^10 0 A20UC2U LjX c2 jX L|2R 2题9-15图解法二：应用结点法计算，对结点①列方程G 訓4 iS—(jX c I s)j X C I解得：U1上〒一j0.05 20 10 100.250 j50V 50.2 45 VR2所以电流为: CRT50 j50 0.5 10 ( j20)105 j5A j5A习题9-24求图示一端口的戴维宁(或诺顿)等效电路。
Q 6 0Vj5)1a □OC解(a)：先求开路电压OCo 其中c题9-24图由于开路,R3丄j CR3 —j Cl| 0 ,故受控电流源l| 0 ,所以有U s ZR2ZR aj CR a 1R 33所以电路的等效阻抗ZeqOC S所以 U OCjC R R 1汗R R R3R R 2 R J j CR 3(R R ,)2j CR 3 1求短路电流。
把ab 短路，电路等效为题解9-24图(a1)，由KVL,可得等效电路如题图(a2)所示。
亠A6 j5SR3-I==F R 1O UI SC R 2SC+乙qI OCO Uala2(RSC电路的等效阻抗Z eqOC SC题解9-24图 R 2)l LcI U SC R 2SR 1 R 2R 2R 3(R1& R 2)R 1 R2 Rj C (R 1 R2)解(b)：求开路电压U OC 。
由 KVL ,可列方程OCj 5I 6I其中116 6 j10 12 j10 OC(6%6)3 0 V j10求短路电流。
把ab 短路如题解 9-24图(bl)所示。
由图可知:(6 j10)Ij5lL 66 j5 卫A6 j5Ilscj 5j5题解9-24图解(c):求短路电流。
把ab 短路如题解9-24图(C1)所示，由图可得题解9-24图把电压源短路，求等效电导，有等效电路为一电流源，如题图(C2)所示。
习题 9-28 附图电路中 i s ,2cos(1dt)A ，Z 1 (10 j50) ，Z 2解：应用分流公式，可得I 1 址j50 1 0 Z 1 Z 2 10 j50 j50 1I 2 l|s I (11 j5 .26 78.69 A乙,Z 2吸收的复功率为S 乙I ；(10 j50) 52 250 j1250V AS2 乙I ；j50 C- 26)2 j1300V A等效电路如题解图(b2)所示H sc20 0 j102jA1 1 j10j10j50 。
求乙,Z 2吸收的复功率，并验证整个电路复功率守恒，即有 S 0I S I 1 f1 Z2 1abC2题9-28图由于电流源两端的电压分量为U乙|1 (10 j50)( j5) 250 50 jV所以电流源发出的复功率为S Ui S (250 j50) 1 0 250显然有S S S2,即复功率守恒。
习题9-40求图示电路中Z的最佳匹配值。
j50V A1 1T"Co_Il+u解：把U S短接,因此输入阻抗Z inU S U C U C—>R1题解9-40图题9-40图Z断开，外加电压，求出输入阻抗。
由题解9-40图可得U CuLj CUCRUC (J j C)U cR1R11 & R (1 j CRJ—j C 1 j CR (1 )2( CR1)2故Z的最佳匹配值为Z Zin R1 (1 j CR1)2 2(1 ) ( CR1)。